Aloha :)
Eine Basis des Bildes findest du, indem du die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren herausrechnest. Das geht am einfachsten mittels elementarer Spaltenoperationen. Ziel ist es, so viele Zeilen wie möglich zu erzeugen, die genau eine Eins und sonst nur Nullen enthalten.
$$\begin{array}{rrr}-S_3 & -S_3 & \\\hline1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 3 & 0\\0 & 2 & 0\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} & -3S_1 & \\\hline0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 3 & 0\\0 & 2 & 0\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 \\\hline0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\end{array}$$
Es bleiben drei offensichtlich unabhängige Basisvektoren des Bildes übrig:$$\operatorname{Bild}(A)=\left(\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\right)$$
Die 3-dimensionalen Eingangsvektoren in die Matrix werden also auf den 3-dimensionalen Bildraum abgebildet. Daher ist die Dimension des Kerns gleich \(0\), sprich der Kern enthält nur den Nullvektor.
Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält. Daher ist die Abbildung \(A\) injektiv.
