Ist (nx)/(1+nx^2) gleichmäßig konvergent?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenfolge f_n(x)= \( \frac{nx}{1+nx^2} \)

Problem/Ansatz:

Punktweise Konvergenz habe ich bereits gezeigt ( ... \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{nx}{1+nx^2} \) = 1)

Bei der gleichmäßigen habe ich allerdings wieder Probleme:

|f_n(x) - f(x)| = |\( \frac{nx}{1+nx^2} \) - 1| = ...... <ε

Sprich, ich weiß nicht, wie ich weiter abschätzen soll

Comments

\( f_n(1) = \frac{n}{1+n} \overset{n\to \infty}{\to} 1 \), also gilt sicher nicht \( f_n \to 0 \) punktweise, insbesondere nicht gleichmäßig.

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Auch die Korrekur auf Grenzwert 1 würde ich mal überprüfen.

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(Wobei, mein Computer hat jetzt beim nachrechnen auch \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{n}{n+1} \) = 1 gesagt??)

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Das ist jetzt ein schlimmer Rechenfehler.

Für x=1 ist der Grenzwert schon 1, aber nicht für die anderen x

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\( \lim\limits_{n\to\infty} \) = \( \frac{nx}{1+nx^2} \) =1 für x=1

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) = \( \frac{nx}{1+nx^2} \) =0 für alle anderen x

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Für \(x\neq 0\) ist \(\lim f_n(x)=\frac{1}{x}\)

Answer 1

Punktweise konvergiert die Folge gegen

die Funktion

\(f(x)=\left\{\begin{array}{lr}\frac{1}{x}&\text{ für }x\neq 0\\0&\text{ für } x=0\end{array}\right\}\).

Diese ist in \(x=0\) nicht stetig, also ...

Comments

.... also kann die Folge nicht gleichmäßig konvergent sein, da sie gegen eine unstetige Funktion konvergiert. Somit kann Sie nur punktweise konvergieren.

Vielen Dank @ermanus!

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Du hast es erfasst ;-)

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@Euler07 In dem Argument sollte aber noch ergänzt werden, dass \( f_n\) für alle \( n\in \mathbb{N} \) stetig ist.

(Wenn sie es nicht wären, ist das i.A. falsch)