Welchen Rest lässt 13^16 − 2^54 bei Division durch 21.

Question

Aufgabe:

Welchen Rest lässt 13^16 − 2^54 bei Division durch 21.

Problem/Ansatz:

13^16 - 2^54 = (13^2)^8 - (2^6)^9 = 169^8 - 64^9 weiter komme ich jedoch nicht...

Comments

Der Rest ist 0.

Answer 1

Die Einheitengruppe \((\mathbb{Z}/21\mathbb{Z})^*\) hat die Ordnung \(12\).

Daher besagt "der kleine Fermat": \(x^{12}\equiv 1\) mod \(21\) für jede zu 21

teilerfremde ganze Zahl \(x \neq 0\).

Daher bekommen wir

\(13^{16}-2^{54}\equiv (-8)^{16}-2^{54}\equiv 2^{48}-2^{54}\equiv 1-2^6\equiv 1-1=0\) mod \(21\).