Aufgabe:
C[a, b] bezeichnet wie üblich den Vektorraum aller auf \( [a, b] \) stetigen Funktionen.
(a) Welche Eigenschaften muss ein Skalarprodukt erfüllen? Unterscheiden Sie dabei reelle und komplexe Vektorräume! Überprüfen Sie anschließend, ob durch die folgenden Ausdrücke jeweils ein Skalarprodukt auf \( C[-1,1] \) definiert wird.
\( \langle f, g\rangle_{0}=\int \limits_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x, \quad\langle f, g\rangle_{1}=\int \limits_{-1}^{1} x f(x) g(x) \mathrm{d} x, \quad\langle f, g\rangle_{2}=\int \limits_{-1}^{1} x^{2} f(x) g(x) \mathrm{d} x \)
Bestimmen Sie außerdem für \( f(x)=x \) und \( g(x)=2 x^{2} \) den Cosinus des Winkels zwischen \( f \) und \( g \) bezüglich der Skalarprodukte aus (a).
(b) Betrachten Sie die Vektoren \( g(x)=1, h(x)=x \) als Elemente des Vektorraums \( C[0,1] \). Finden Sie nun \( \vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^{2} \), also Vektoren in der Ebene, die sich hinsichtlich ihrer Skalarprodukte gleich verhalten, wie \( g, h \in C[0,1] \) :
\( \vec{a} \cdot \vec{a}=\langle 1,1\rangle, \quad \vec{b} \cdot \vec{b}=\langle x, x\rangle, \quad \vec{a} \cdot \vec{b}=\langle 1, x\rangle \)
· stellt hier das gewöhnliche Skalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{2} \) dar, während man unter \( \langle \),\( \rangle das Standardska- \) larprodukt auf \( C[0,1] \) versteht.
Hinweis: Setzt man \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2}\end{array}\right) \) bzw. \( \vec{b}=\left(\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2}\end{array}\right) \), so stellt (1) drei lineare Gleichungen für \( a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \) dar.
Problem/Ansatz:
wie löse ich folgende Aufgabe?
