Vektorräume Untersuchung auf Skalarprodukt

Question

Aufgabe:

C[a, b]  bezeichnet wie üblich den Vektorraum aller auf $[a, b]$ stetigen Funktionen.
(a) Welche Eigenschaften muss ein Skalarprodukt erfüllen? Unterscheiden Sie dabei reelle und komplexe Vektorräume! Überprüfen Sie anschließend, ob durch die folgenden Ausdrücke jeweils ein Skalarprodukt auf $C[-1,1]$ definiert wird.
$\langle f, g\rangle_{0}=\int \limits_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x, \quad\langle f, g\rangle_{1}=\int \limits_{-1}^{1} x f(x) g(x) \mathrm{d} x, \quad\langle f, g\rangle_{2}=\int \limits_{-1}^{1} x^{2} f(x) g(x) \mathrm{d} x$
Bestimmen Sie außerdem für $f(x)=x$ und $g(x)=2 x^{2}$ den Cosinus des Winkels zwischen $f$ und $g$ bezüglich der Skalarprodukte aus (a).
(b) Betrachten Sie die Vektoren $g(x)=1, h(x)=x$ als Elemente des Vektorraums $C[0,1]$. Finden Sie nun $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^{2}$, also Vektoren in der Ebene, die sich hinsichtlich ihrer Skalarprodukte gleich verhalten, wie $g, h \in C[0,1]$ :
$\vec{a} \cdot \vec{a}=\langle 1,1\rangle, \quad \vec{b} \cdot \vec{b}=\langle x, x\rangle, \quad \vec{a} \cdot \vec{b}=\langle 1, x\rangle$
· stellt hier das gewöhnliche Skalarprodukt auf $\mathbb{R}^{2}$ dar, während man unter $\langle$,$\rangle das Standardska-$ larprodukt auf $C[0,1]$ versteht.

Hinweis: Setzt man $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2}\end{array}\right)$ bzw. $\vec{b}=\left(\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2}\end{array}\right)$, so stellt (1) drei lineare Gleichungen für $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}$ dar.

Problem/Ansatz:

wie löse ich folgende Aufgabe?

Comments

Hast Du denn die 1. Frage (Eigenschaften eines Skalarprodukts?) schon geklärt?

Answer 1

(a) Welche Eigenschaften muss ein Skalarprodukt erfüllen?

Ein Skalarprodukt muss die Eigenschaften erfüllen, die in der Definition Skalarprodukt angegeben sind. Schau dazu in deinen Unterlagen nach, wie diese Definition lautet.

Überprüfen Sie anschließend, ob durch die folgenden Ausdrücke jeweils ein Skalarprodukt auf $C[-1,1]$ definiert wird.

Überprüfe ob die genannten Ausdrücke die Eigenschaften erfüllen, die in der Definition Skalarprodukt angegeben sind.

Bestimmen Sie außerdem für $f(x)=x$ und $g(x)=2 x^{2}$ den Cosinus des Winkels zwischen $f$ und $g$ bezüglich der Skalarprodukte aus (a).

Verwende die Formel, die den Zusammenhang zwischen Cosinus und Skalarprodukt herstellt. Die Formel findest du in deinen Unterlagen.