Vektorräume beweisen

Question

Aufgabe 37.
[4 Punkte] Sei V ein Vektorraum über C. Definieren wir eine neue Skalarmultiplikation
C×V −→V (über dem Pfeil ein Kreis) nach der Regel λ,Vektor v−→ λn, Vektor vn.
wobei die alte Skalarmultiplikation und λn die zu λ konjugierte komplexe Zahl ist. Beweisen Sie, dass ( V,◦,+) ein C
–Vektorraum ist, wobei + die alte Vektoraddition bezeichnet.

Hilfe ich verstehe nicht wie ich hier vorgehen soll.

(n steht für die Konjugation, da ich nicht wusste wie man die schreibt)

Comments

Ein Bild der Originalaufgabe wäre hilfreich.

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Blatt7.pdf (100 kb)

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 Das ist die Aufgabe 

Answer 1

Du musst nur die Vektorraumaxiome durchgehen, etwa in der Reihenfolge wie bei:

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition

V1 bis V4 sind klar; denn an der Def. der Addition hat sich ja nix geändert.

Und für S1 bis S4 musst du nur deine neue Definition beachten

α°v =  α_quer*v    und * ist die "alte"  Skalarmultiplikation, sie

erfüllt also die Axiome.

Bei S1 sähe das so aus: Zu zeigen ist     α°(v+w) =α°v + α°w

Das ginge so:

α°(v+w)    nach Def. von ° 

=α_quer*(v+w)   und weil * das Axiom erfüllt

=α_quer*v  + α_quer*w    Nun Def. von ° rückwärts angewandt gibt

=α°v  +   α°w.    q.e.d

So ähnlich die anderen 3.

Bei S4 bedenke   1_quer=1 !