invertierbarkeit bei transponierten Matrixen die ungerade -(ursprüngliche Matrix) ergibt

Question

Aufgabe: Ist die Aussage wahr oder falsch? Sei A ∈ Mat(n x n; K) mit A^T = -A. Ist n ungerade, dann ist A nicht invertierbar.

Problem/Ansatz:

An sich verstehe ich die Aufgabe schon, mein Problem ist es sich eine ungerade Matrix A vorzustellen, die beim Transponieren zu -A wird. Letztlich soll dann ja A -A = 0 (Nullmatrix rauskommen) oder nicht?

Answer 1

Hier mal ein Beispiel:
$$A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$

Grundsätzlich gilt für eine \(n\times n\)-Matrix

$$A^T = -A \Rightarrow $$ $$\det(A) = \det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n\det A \stackrel{n=2k+1}{=}-\det(A)$$

Also, \(\det A = 0\), falls die Charakteristik des zugrundeliegenden Körpers K größer als 2 ist.

Comments

"Also, \(\det A = 0\), falls die Charakteristik des zugrundeliegenden Körpers K größer als 2 ist. "

Hmm. Da det(A) = 0 gilt, ist diese Matrix nicht invertierbar. Und am Beispiel: Ich kann doch nur Matrizen bilden, wie A, in der wir einen Rangverlust haben. Da sonst eine 3x3 Matrix den vollen Rang besitzen und A^T  ≠ -A sein würde. Woraus aus der Bedingung n = ungerade folgt, dass automatisch immer ein Rangverlust existieren muss, damit A^T = -A überhaupt gilt?

Liege ich da richtig?

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Du kannst gern die Aussage auf deine Weise beweisen.

Zeige genau, wie der Rangverlust zustande kommt. Mit dem Satz "Ich kann doch nur Matrizen bilden wie ..." hast du noch nichts bewiesen.

Übrigens:
\(\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\) hat vollen Rang. Also ist n ungerade wichtig.