Aloha :)
Die Spalten in einer Matrix sind ein Span des Bildraumes. Wenn du daraus eine Basis machen möchtest, musst du die linearen Abhängigkeiten der Spalten untereinander auflösen. Das funktioniert am einfachsten mittels elementarer Spaltenumformungen. Dabei kann man auch direkt eine Basis des Kerns mit bestimmen. Der Algorithmus dazu funktioniert wie folgt.
Schreibe neben die Matrix \(A\) eine Einheitsmatrix mit genauso vielen Spalten wie \(A\) hat. Dann bringe die Matrix \(A\) durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckform und führe dieselben Schritte an der Einheitsmatrix durch:$$\left(\begin{array}{c}{} & {-4S_1} & {-7S_1} & {-10S_1} \\1 & 4 & 7 & 10\\2 & 5 & 8 & 11\\3 & 6 & 9 & 12\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}{} & {} & {-2S_2} & {-3S_2} \\1 & 0 & 0 & 0\\2 & -3 & -6 & -9\\3 & -6 & -12 & -18\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & -4 & -7 & -10\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\2 & -3 & 0 & 0\\3 & -6 & 0 & 0\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{c}1 & -4 & 1 & 2\\0 & 1 & -2 & -3\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Die von Null verschiedenen Spalten aus der ersten Matrix sind eine Basis des Bildes. Die zu den Null-Spalten der ersten Matrix korrespondierenden Spalten der zweiten Matrix sind eine Basis des Kerns:$$\text{Bild}(A)=\left(\,\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)\,\right)\quad;\quad\text{Kern}(A)=\left(\,\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\\1\end{array}\right)\,\right)$$Anstatt \((0|-3|-6)^T=(-3)\cdot(0|1|2)^T\) habe ich \((0|1|2)^T\) in die Basis des Bildes aufgenommen.
