(10.3b) Es werden \( n \) Zufallszahlen unabhängig voneinander bestimmt, die jeweils uniform verteilt in einem abgeschlossenen Intervall mit bekannter unterer Grenze 0 , aber unbekannter oberer Grenze liegen.
Aufgabe 10.4 (4 Punkte): In der Situation von Aufgabe 10.3(b) bezeichne \( \omega_{i} \) die \( i \) -te gezogene Zufallszahl, \( 1 \leq i \leq n . \) Wir betrachten den Schätzer \( \hat{\varphi}\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right):=\max \left\{\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right\} \) für die
unbekannte obere Intervallgrenze. Berechnen Sie Bias \( \widehat{\varphi}(\mathrm{P}), \mathrm{P} \in \mathcal{P}, \) und geben Sie eine Zahl \( c>0 \) an, sodass \( c \widehat{\varphi} \) erwartungstreu ist.
Lüsung: Sei \( \vartheta>0 . \) Wir bemerken, dass
$$ \mathrm{P}_{\vartheta}(\widehat{\varphi} \leq x)=\left\{\begin{array}{l} 0, x \leq 0 \\ \left(\frac{x}{0}\right)^{n}, 0<x \leq \vartheta, \quad=\int \limits_{-\infty}^{x} \frac{n}{j}\left(\frac{y}{v}\right)^{n-1} 1_{[0,0]}(y) d y \\ 1, x>\vartheta \end{array}\right. $$
Wir folgern
$$ \mathbb{E}_{\mathrm{P}_{\vartheta}}[\widehat{\varphi}]=\int \limits_{0}^{\theta} n \frac{y}{\vartheta}\left(\frac{y}{\vartheta}\right)^{n-1} d y=\int \limits_{0}^{\vartheta} n\left(\frac{y}{\vartheta}\right)^{n} d y=\vartheta n \int \limits_{0}^{1} z^{n} d z=\frac{n}{n+1} \vartheta $$
Wir folgern
$$ \operatorname{Bias}_{\widehat{\varphi}}\left(\mathrm{P}_{\vartheta}\right)=\frac{n}{n+1} \vartheta-\vartheta=-\frac{\vartheta}{n+1} $$
Außerdem ist leicht zu sehen, dass für \( c=\frac{n+1}{n} \) der Schätzer \( c \widehat{\varphi} \) erwartungstreu ist.
Leider habe ich die Lösung gar nicht verstanden. Könnte jemand mir das in anderen Worten erklären?
