Zeigen Sie: Gilt eine der folgenden Eigenschaften, so ist G abelsch.

Question

Aufgabe:

Sei (G, ⊕) eine Gruppe. Zeigen Sie: Gilt eine der folgenden Eigenschaften, so ist G abelsch.
(a) ∀a ∈ G : a ⊕ a = 0
(b) ∀a, b ∈ G : (a ⊕ b)^2 = a^2· b2
(c) ∀a, b ∈ G : b^−1 ⊕ a ⊕ b ⊕ a^−1 = 0.

Answer 1

Ich schreibe Gruppenoperationen als Produkt ( z. Bsp. ab) und für das neutrale Element nehme ich e statt 0.

(a) \(a^2 = e \Rightarrow a=a^{-1}\) für jedes Gruppenelement.

\(\Rightarrow (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} = ba\) für beliebige \(a,b \in G\)

(b) \((ab)^2 =abab = a^2b^2\)

\(\Rightarrow a^{-1}(abab)b^{-1} = a^{-1}(a^2b^2)b^{-1}\)

\(\Rightarrow ba = ab\)

(c) \(b^{-1}aba^{-1} = e\)

\(\Rightarrow b(b^{-1}aba^{-1})a = ab = bea = ba\)

Comments

Ich schreibe Gruppenoperationen als Produkt

In der Tat sind die vom Aufgabensteller verwendeten
Symbole ein bisschen "krank", sieht ein bisschen
nach Schikane aus, vor allen Dingen das "Quadrieren".

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@ermanus

Sehe ich genauso. Vor allem das Mischen einer additiv daherkommenden Operation mit der Potenzschreibweise ist schlimm.