Hast du mal die Summanden zum Beipsiel für \(n=8\) aufgeschrieben?
Dann siehst du, was passiert.
Hier im allgemeinn für \(n\geq 3\):
Erstmal ein kleiner Index-Shift für die zweite Summe:
$$\sum_{i=1}^{n}\frac 1{i+4} \stackrel{k=i+3}{=}\sum_{k=4}^{n+3}\frac 1{k+1}$$
Damit hast du
$$\sum_{k=1}^{n}\frac 1{k+1} - \sum_{k=4}^{n+3}\frac 1{k+1}$$$$=\sum_{k=1}^{3}\frac 1{k+1} + \sum_{k=4}^{n}\left(\frac 1{k+1}- \frac 1{k+1}\right) - \sum_{k=n+1}^{n+3}\frac 1{k+1}$$
$$= \frac 12 + \frac 13 + \frac 14 - \sum_{k=n+1}^{n+3}\frac 1{k+1}$$