Aufgabe:
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1. Zuerst ein Beispiel: Im folgenden Bild steht jeder Punkt \( \bullet \) für ein Element einer Basis \( \mathcal{B} \) eines \( K \)-Vektorraums \( V \), und \( f: V \rightarrow V \) bildet die Elemente der Basis so aufeinander ab, wie es das Bild anzeigt. Offenbar gilt: \( \operatorname{dim} V=9 \), \( f \) ist nilpotent, und bei geeigneter Reihenfolge der Elemente der Basis \( \mathcal{B} \) ist die Matrix \( M(\mathcal{B}, f, \mathcal{B}) \) in Jordannormalform mit 4 Blöcken der Größen 4, 2, 2 und 1.
Weiter sieht man
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\( i \) & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
\hline \( \operatorname{dim} \operatorname{ker} f^{i} \) & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 8 & 7 & 4 & 0
\end{tabular}
Nun sei \( g: W \rightarrow W \) ein nilpotenter Endomorphismus eines \( K \)-Vektorraums \( W \) mit \( \operatorname{dim} W=12 \) und mit folgenden Dimensionen der Kerne ker \( g^{j} \) :
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\( i \) & 12 & 11 & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
\hline \( \operatorname{dim} \operatorname{ker} g^{j} \) & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 11 & 10 & 8 & 5 & 0
\end{tabular}
Wieviele und wie große Jordanblöcke hat eine Jordannormalform von \( g \) ? Machen Sie ein analoges Bild zu oben, das die Operation von \( g \) auf einer Basis von \( W \) zeigt, die eine Jordannormalform gibt. Geben Sie auch das charakteristische Polynom \( P_{g}(t) \) und das Minimalpolynom \( M_{g}(t) \) an.
Problem:
Hallo
Ich verstehe nicht, wie ich die Anzahl und Größe der Jordanblöcke mithilfe der Tabelle Berechnen kann.
Kann mir jemand aus die sprünge helfen?
Ich komme auch mit auf das Beispiel, was gegen wurde. Es wäre toll wenn mir jemand das beispiel oder die Aufgabe zur verständnis ausführlich erklären könnte :)
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Einige Definitionen, die in den Aufgaben 3 und 4 gebraucht werden:
Sei \( \phi: V \times V \rightarrow K \) eine symmetrische Bilinearform auf einem \( K \)-Vektorraum \( V \). Zwei Vektoren \( v_{1} \) und \( v_{2} \in V \) sind orthogonal (Notation: \( v_{1} \perp v_{2} \) ), falls \( \phi\left(v_{1}, v_{2}\right)=0 \) ist (das ist wegen der Symmetrie von \( \phi \) von der Reihenfolge von \( v_{1} \) und \( v_{2} \) unabhängig). Ein Vektor \( v \in V-\{0\} \) ist isotrop, falls er zu sich selbst orthogonal ist: \( \phi(v, v)=0 \). Sei \( U \subset V \) ein Untervektorraum. Dann ist das orthogonale Komplement \( U^{\perp} \subset V \) von \( U \) der Untervektorraum
\( U^{\perp}:=\{v \in V \mid \phi(u, v)=0 \text { für alle } u \in U\} . \)
Das Radikal von \( \phi \) ist der Untervektorraum \( \operatorname{Rad}(\phi) \subset V \) mit
\( \operatorname{Rad}(\phi):=V^{\perp}=\{v \in V \mid \phi(u, v)=0 \text { für alle } u \in V\} \)
Die symmetrische Bilinearform heißt nichtentartet, falls \( \operatorname{Rad}(\phi)=\{0\} \) ist.
1. Zuerst ein Beispiel: Im folgenden Bild steht jeder Punkt \( \bullet \) für ein Element einer Basis \( \mathcal{B} \) eines \( K \)-Vektorraums \( V \), und \( f: V \rightarrow V \) bildet die Elemente der Basis so aufeinander ab, wie es das Bild anzeigt. Offenbar gilt: \( \operatorname{dim} V=9 \), \( f \) ist nilpotent, und bei geeigneter Reihenfolge der Elemente der Basis \( \mathcal{B} \) ist die Matrix \( M(\mathcal{B}, f, \mathcal{B}) \) in Jordannormalform mit 4 Blöcken der Größen 4, 2,2 und 1.
Weiter sieht man
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\( i \) & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
\hline \( \operatorname{dim} \operatorname{ker} f^{i} \) & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 9 & 8 & 7 & 4 & 0
\end{tabular}
Nun sei \( g: W \rightarrow W \) ein nilpotenter Endomorphismus eines \( K \)-Vektorraums \( W \) mit \( \operatorname{dim} W=12 \) und mit folgenden Dimensionen der Kerne ker \( g^{j} \) :
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\( i \) & 12 & 11 & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
\hline \( \operatorname{dim} \operatorname{ker} g^{j} \) & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 11 & 10 & 8 & 5 & 0
\end{tabular}
Wieviele und wie große Jordanblöcke hat eine Jordannormalform von \( g \) ? Machen Sie ein analoges Bild zu oben, das die Operation von \( g \) auf einer Basis von \( W \) zeigt, die eine Jordannormalform gibt. Geben Sie auch das charakteristische Polynom \( P_{g}(t) \) und das Minimalpolynom \( M_{g}(t) \) an.
