Folgern Sie: M hat einen Eigenwert λ ∈ ℝ \ (ℤ ∪ {1/5}).

Question

Aufgabe:

Gegeben sei, dass die folgende Matrix M reell diagonalisierbar ist:

$\left(\begin{array}{ccccc}\frac{1}{5} & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & \pi \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 42 \\ 0 & 2 & 1 & -\frac{1}{5} & 1 \\ 0 & \pi & 42 & 1 & 2\end{array}\right)$

Folgern Sie: M hat einen Eigenwert λ ∈ ℝ \ (ℤ ∪ {$\frac{1}{5}$ }).

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keine Idee, wie ich hier rangehe, über jegliche Hilfe freue ich mich.

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

Betrachte die Spur der Matrix.

Wenn $\lambda_i,\; i=1,\ldots ,5$ die Eigenwerte der Matrix sind, dann haben wir

$$\operatorname{tr}(M) = \sum_{i=1}^5\lambda_i = 2$$

Außerdem wissen wir, dass $\frac 15$ ein Eigenwert ist und können $\lambda_1=\frac 15$ setzen.

Die Vielfachheit von $\frac 15$ kann nicht 5 sein, da $5\cdot \frac 15 = 1 \neq 2$.

Da $\frac 15,\frac 25,\frac 35,\frac 45$ nicht durch eine ganze Zahl zu 2 ergänzt werden können, muss es einen reellen, nicht ganzzahligen Eigenwert $\lambda \neq \frac 15$ geben.

Comments

Woher wissen wir, dass $\frac{1}{5}$ ein Eigenwert ist?

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Versuche mal $\det (\lambda I-M)$ durch Entwicklung nach der 1. Spalte zu berechnen. Dann bekommst du sofort den Faktor $\left(\lambda - \frac 15\right)$.

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Hab's verstanden. Vielen Dank!