Aloha :)
Die kritischen Punkte sind die Nullstellen des Gradienten:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{x^2+2x+y^2}{2xy-2y}=\binom{x^2+2x+y^2}{2y(x-1)}$$
Die zweite Komponente wird Null für \(x=1\) oder \(y=0\)
Für \(x=1\) lautet die erste Komponente \((3+y^2)\) und wird für kein \(y\in\mathbb R\) zu Null.
Für \(y=0\) lautet die erste Komponente \(x(x+2)\) und wird Null für \(x=0\) oder \(x=-2\).
Daher hat die Funktion zwei kritische Punkte:\(\quad(-2|0)\;;\;(0|0)\).
Zur Prüfung der kritischen Punkte bilden wir die Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{cc}2x+2 & 2y\\2y & 2(x-1)\end{array}\right)$$und setzen die Kandidaten ein:$$H(-2;0)=\left(\begin{array}{rr}-2 & 0\\0 & -6\end{array}\right)\quad;\quad H(0;0)=\left(\begin{array}{rr}2 & 0\\0 & -2\end{array}\right)$$Bei einer Diagonalmatrix stehen die Eigenwerte auf der Diagonalen. Die erste Hesse-Matrix ist daher negativ definit, die zweite ist indefinit.
Die Funktion hat daher ein Extremum, ein Maximum bei \((-2|0)\).
