Mengen und Relationen Mathematik

Question

Aufgabe:
Untersuchen Sie folgenden Relationen auf Transitivität, Symmetrie, und Reflexivität. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.

Die Grundmenge ist die Menge aller Fahrradmodelle. Für zwei Modelle x und y gilt xRy, wenn x = y ist oder wenn es einen Händler gibt, bei dem Modell x weniger als Modell y kostet, und einen anderen Händler, bei dem Modell y weniger als Modell x kostet.

Ich habe:
R = { (a, b) ∈ N × N | a = b V Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y }

Da es sich um ein oder handelt müsste man ja nur checken ob a = b gilt oder Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y gilt. Also habe ich Reflexivität, Symmetrie, Transitivität auf a = b geprüft. Und habe wahr auf alles bekommen, somit ist R reflexiv, transitiv und symmetrisch. Dies war aber falsch, warum? Muss man schauen ob a = b UND Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y reflexiv, transitiv und symmetrisch sind?

Danke im Voraus

Answer 1

Sei \(p_{h}(x)\) der Preis für das Fahrradmodell \(x\) beim Händler \(h\).

Dann ist

        \(\begin{aligned}R = \{(a,b)\ |\ a=b \vee \exists\, h,h':(&h\neq h'\wedge\\& p_h(a) < p_h(b)\wedge\\& p_{h'}(b) < p_{h'}(a))\}\end{aligned}\)

Angenommen es gibt drei Fahrradhändler, \(h\), \(h'\) und \(h''\) und drei Fahrradmodelle \(r_1\), \(r_2\) und \(r_3\) mir folgenden Preisen:

\(p\)	\(h\)	\(h'\)	\(h''\)
\(r_1\)	\(1\)	\(2\)	\(1\)
\(r_2\)	\(2\)	\(1\)	\(2\)
\(r_3\)	\(1\)	\(2\)	\(1\)

Dann ist \((r_1,r_2)\in R\) wegen \(p_h(r_1)<p_{h}(r_2)\) und \(p_{h'}(r_2)<p_{h'}(r_1)\).

Außerdem ist \((r_2,r_3)\in R\) wegen \(p_{h'}(r_2)<p_{h'}(r_3)\) und \(p_{h''}(r_3)<p_{h''}(r_2)\).

Allerdings ist \((r_1,r_3)\notin R\).

Also ist \(R\) nicht transitiv.

Comments

Hey,

Kann man in der Relation aber nicht nur auf a = b gucken, da es ein oder dazwischen gibt und nur eins transitiv sein muss? Wie kann man wissen wann man auf a = b gucken muss und wann auf die Händler? Ich dachte den Beweis nur mit a = b durchzuführen währe genügend.

---

Allerdings ist \((r_1,r_3)\notin R\).

Genauer gesagt ist \((r_1,r_3)\notin R\), weil weder

          \(r_1 = r_3\)

noch

        \(\begin{aligned}\exists\, h_1,h_2:(&h_1\neq h_2\wedge\\& p_{h_1}(r_1) < p_{h_1}(r_3)\wedge\\& p_{h_2}(r_3) < p_{h_2}(r_1))\end{aligned}\)

gilt.

und nur eins transitiv sein muss

Ich weiß nicht was du damit meinst.

Gib ein Beispiel für eins, das transitiv ist.

---

Also ich dachte man müsste nur prüfen ob a = b transitiv ist und nicht die rechte Seite mit den Händlern, da es sich um ein oder zwischen dem a = b und den Händler handelt.

---

Transitivität ist eine Eigenschaft von Relationen.

a = b ist eine Formel.

Formeln sind kleine Relationen.

Deine Aussage "ob a = b transitiv ist" ergibt deshalb überhaupt keinen Sinn.

---

Ich meine wir haben folgende Relation:

R = { (a, b) ∈ N × N | a = b V Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y }

um transitiv zu prüfen reicht es nicht a = b zu überprüfen anstatt Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y, da wir ein oder zwischen a = b und Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y haben?

---

Händler 1 x < y ∨ Händler 2 x > y

Was ist Händler 1 x?

Was ist y?

Was ist Händler 2 x?