Ableitung eines Bruches (x^2+2) / x

Question

Die Aufgabe (x² +2) / x ist gegeben. Ich soll diese einmal ableiten.

Dazu habe ich die Quotientenregel benutzt und komme auf  2x-2. Stimmt das?

Mich würde es aber auch interessieren, wie ich solche Brüche aufleiten kann. Mit der Partiellen Integration kriege ich es für normale Funktionen hin aber ich weiss nicht, wie man das bei Brüchen anwenden sollte. Ist eventuell die Integration durch die Partialbruchzerlegung eine Lösung?

 

lg

Comments

Anmerkung: Partialbruchzerlegung nur dann, wenn der Nennergrad>Zählergrad ist. Hier bräuchte es also zuerst eine Polynomdivision und dann ist eine PBZ unnötig.

Siehe auch hier: https://www.mathelounge.de/46741/mathe-artikel-partialbruchzerlegung


Grüße

Answer 1

und komme auf  2x-2. Stimmt das?

Es ist nicht klar, ob der abzuleitende Term

x ² + ( 2 / x )

oder

( x ² +  2 ) / x

sein soll. Der Term 2 x - 2 jedoch ist weder die Ableitung des einen noch des anderen Terms. Das erkennt man recht einfach, wenn man die Stammfunktion von 2 x - 2 bildet. Diese ist:

x ² - 2 x + C

und hat offensichtlich wenig mit den genannten Brüchen zu tun ...

Richtig ist:

[ x ² + ( 2 / x ) ] ' = 2 x - ( 2 / x ² )

bzw.

[ ( x ² +  2 ) / x ] ' = 1 - ( 2 / x ² )

 

Ja, die Partialbruchzerlegung kann zur Integration von Bruchtermen genutzt werden. Gelegentlich geht es aber auch einfacher.

Comments

Tut mir Leid, die Aufgabe sollte ( x 2 +  2 ) / x heißen.

Wie bist du jetzt auf f(x)= [ ( x² +  2 ) / x ]  

F(x)= 1 - ( 2 / x² ) gekommen? ^^"

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Nun, es soll ( x ² +  2 ) / x  abgeleitet werden, etwa mit der Quotientenregel, also:

u = x ² +  2

u ' = 2 x

v = x

v ' = 1

Die Quotientenregel besagt nun:

( u / v ) ' = ( u ' * v - u * v ' ) / v ² 

also:

[ ( x ² +  2 ) / x ] '

= ( 2 x * x  - ( x ² + 2 ) * 1 ) / x ²

= ( 2 x ² - x ² - 2 ) / x ²

= ( x ² - 2 ) / x ²

= ( x ² / x ² ) - ( 2 / x ² )

= 1 - ( 2 / x ² )

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Dankesehr für deine Mühe, hat mir anschaulich alles erklärt.

Eine Frage hätte ich noch. Wenn ich u, u´, v und v´ bestimme.

Muss es imm (u´* v) - (u * v´) heißen, oder kann ich auch alles vertauschen und (u*v´) - (u´* v) nehmen?

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Nein, vertauschen darfst du das nicht. A - B ist ja nun einmal etwas anderes als B - A.

Answer 2

  ich antworte einmal auf die Frage nach dem Integral

  ∫ ( x² +2 ) / x dx
  ∫  x  + 2 / x dx
  ∫  x  dx  +  ∫  2 / x  dx
  x^2 /2 + 2 * ln ( x )

  Überprüfen könnte man die Lösung
wieder durch Ableitung.

  Bei Fragen wieder melden.

  mfg Georg