Gleichungssysteme mit vorgegebener Lösung bestimmen

Question

Aufgabe:

:ℝ⁵ →ℝ³

\( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4\\x5 \end{pmatrix} \) ↦ \( \begin{pmatrix} x1 + 2*x2 + 4*x3 + x5 \\ -x1 + 4*x2 + 4*x4 + 3*x5 \\ 2*x2 + x3 +2*x5 \end{pmatrix} \)

1) Bestimmen Sie eine Basis von Ker().

2) Bestimmen Sie alle Vektoren ∈ ℝ 5 , sodass () = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:Ich stehe gerade auf den Schlauch und weiß nicht, wie ich vorgehen soll.

bei 2

Answer 1

2) ist unvollständig

wo ist "vorgegebene_r Lösung"?

\(\small A\; \vec{x} =   \left(\begin{array}{rrrrr}1&2&4&0&1\\-1&4&0&4&3\\0&2&1&0&2\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\\\end{array}\right) = \vec{b}  \)

Kern: b=(0,0,0)^T

Löse b=(1,1,1)^T

Zeilenstufenform dazu

\(\small Rref_{Ab} \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrrr}1&0&0&-12&5&3\\0&1&0&-2&2&1\\0&0&1&4&-2&-1\\\end{array}\right)\)

führt zu

\(\small ℙ:= \left\{ \left(\begin{array}{rrrrr}1&2&4&0&1\\-1&4&0&4&3\\0&2&1&0&2\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{r}12 \; t_1 - 5 \; t_2 + 3\\2 \; t_1 - 2 \; t_2 + 1\\-4 \; t_1 + 2 \; t_2 - 1\\t_1\\t_2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\\end{array}\right) \right\} \)

Comments

also habe ich t1 und t2 Element aus R um das ergebnis auf 111 zu kriegen?

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Genau genommen hast Du t1,t2 (Basisvektoren) um den Kern darzustellen...

zur Analyse

https://www.geogebra.org/m/kr6aduce