Funktionsgleichung anhand vorgegebener Eigenschaften bestimmen

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades schneidet bei (0/1,5) die y-Achse, dort liegt auch ein Wendepunkt vor.

Einen zweiten Wendepunkt findet man bei (-2 / -0,5), die Steigung der Wendetangente in diesem Punkt ist +2.

Ein Minimum liegt bei (-3 / -1,875) vor.

Wählen Sie die benötigten Bedingungsgleichungen aus dem Text aus und erstellen Sie die Funktionsgleichung der Funktion 4. Grades.

Problem/Ansatz:

Funktion für 4 Grad f(x) = ax^4 + bx^2 + cx^2 + dx + e

Wie kann ich jetzt Bestandteile entfernen? Wie finde ich heraus, ob die Funktion symmetrisch ist?

Vielen Dank im Voraus.

Comments

Von Symmetrie ist in der Aufgabe nicht die Rede. Du musst jetzt aus dem Text die Informationen entnehmen die du brauchst um die 5 Bedingungen aufzustellen.

Answer 1

Nimm die ersten 5 Bedingungen zu den beiden Wendepunkten aus dem Text uns Stell damit die Funktion auf.

Nutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm um deine Lösung zu kontrollieren.

Schau dann ob die beiden restlichen Gleichungen auch erfüllt sind.

Sieht denke ich soweit alles gut aus.

Answer 2

Die Bedingungen stehen doch klar im Text:

f(0)=1,5  UND f''(0)=0.

f(-2)=-0,5 UND f''(-2)=0 UND f'(-2)=2

f(-3)= -1,875 UND f'(-3)=0.

Das Problem ist, dass 7 Gleichungen für nur 5 Unbekannte gegeben sind.

Suche dir 5 der 7 Gleichungen aus und bestimme a, b, c, d und e.

Teste dann, ob die so erhaltene Funktionsgleichung auch die beiden übrigen Bedingungen erfüllt.

Answer 3

Wie finde ich heraus, ob die Funktion symmetrisch ist?

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades kann allenfalls achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse sein. Dies müsste dann aber auch für die beiden (einzigen) Wendepunkte gelten. Tut es das?

Answer 4

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades schneidet bei (0/1,5) die y-Achse, dort liegt auch ein Wendepunkt vor.
f ( 0 ) = 1.5
f ´´ ( 0 ) = 0

Einen zweiten Wendepunkt findet man bei (-2 / -0,5), die Steigung der Wendetangente in diesem Punkt ist +2.
f ( -2 ) = -0.5
f ´´ ( -2 ) = 0
f ´( -2 ) = 2

Ein Minimum liegt bei (-3 / -1,875) vor.
f ( -3 ) = -1.875
f ´ ( -3 ) = 0

5 Aussagen werden für eine Funktion 4.Grades
benötigt. 7 wären ein bißchen viel.

Stimmt deine Aufgabenstellung ?
Stell einmal ein Foto der Aufgabe ein.

Answer 5

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades schneidet bei   \(W_1(0|1,5)\) die y-Achse.
Einen zweiten Wendepunkt findet man bei (-2 / -0,5), die Steigung der Wendetangente in diesem Punkt ist +2.
Ein Minimum liegt bei (-3 / -1,875) vor.

 \(W_1(0|1,5)\)→ \(W_1´(0|0)\)

Hier ist eine Dreifachnullstelle. Weiter mit der Nullstellenform der ganzrationalen Funktion 4. Grades:

\(f(x)=ax^3(x-N)=a(x^4-Nx^3)\)

Wendepunkteigenschaft:

\(W_2´(-2 | ...)\)

\(f'(x)=a(4x^3-3Nx^2)\)

\(f''(x)=a(12x^2-6Nx)\)

\(f''(-2)=a(48+12N)=0\)

\(a(48+12N)=0\)

\(N=-4\)

\(f(x)=a(x^4+4x^3)\)

Steigung der Wendetangente in \(W_2´(-2 | ...)\) ist \(m=2\).

\(f'(x)=a(4x^3+12x^2)\)

\(f'(-2)=a(-32+48)=16a=2\)

\(a=\frac{1}{8}\)

\(f(x)=\frac{1}{8}(x^4+4x^3)=\frac{1}{8}x^4+\frac{1}{2}x^3\)

Nun \(1,5\) Einheiten nach oben

\(p(x)=\frac{1}{8}x^4+\frac{1}{2}x^3+1,5\)