Gleichungssysteme mit vorgegebener Anzahl Lösungen auswählen.

Question

Aufgabe:

Bilden Sie aus den vorgegebenen Gleichungen je zwei Gleichungssysteme mit einer Lösung, mit einer Lösung und mit unendlich vielen Lösungen. Zeichnen und rechnen Sie.

\( y = -\frac{1}{2} + 5 \\ y = \frac{1}{2} + 5 \\ y = -5x + 2 \\ 2x + 4y - 20 = 0 \\ y = \frac{1}{5}x - 3 \\ 4x - 2y - 10 = 0 \\ 2x - y = 0 \\ y = -2x - 5 \\ x - y - 5 = 0 \\ 5y - 2 = x \\ 2y = x + 10 \\ 5x - 2 = y \\ \)

Ansatz/Problem:

Kann man das schon bevor man rechnet erkennen ob es eine, keine oder unendlich viele lösungen hat? Bspw. y=0,5x+5 und y=-0,5x+5

Comments

Sehr einfach ist es vorhandene Gleichungen nach y aufzulösen

y = 0,5x + 5 und y = -0,5x + 5

Wenn die Steigungen (die Zahl vor dem x) unterschiedlich sind gibt es genau eine Lösung.

Sind die Steigungen gleich und die y-Achsenabschnitte ungleich, dann gibt es keine Lösung.

Sind die Steigungen und die y-Achsenabschnitte gleich, dann gibt das unendlich viele Lösungen.

 

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Versuchen wir's mal

I  y=0,5x+5

II y=-0,5x+5  (eine Lösung)

 

I  y=-5x+2

II y=0,20x-3 (eine Lösung)

 

y=-5x+2

y=5x-2 (hier ist beides unterschiedlich was jetzt?)

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Ist mit dem ersten Satz erledigt:

Wenn die Steigungen (die Zahl vor dem x) unterschiedlich sind gibt es genau eine Lösung.

Also: Eine Lösung.

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"Mögliche Lösungen für Lineare Gleichungssysteme" Erklärungen hierzu findest du unter (herunterscrollen): https://www.matheretter.de/wiki/lineare-gleichungssysteme

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Bitte sagen ob's richtig oder falsch ist.

I  y=0,5x+5

II y=-0,5x+5 (eine Lösung)

I  y=-5x+2

II y=0,20x-3 (eine Lösung)

I  2x-y=0

II 2x+4y-20=0 (keine Lösung)

I 2y=x+10

II x-y-5=0 (keine Lösung)

 

Jetzt bleiben nur noch 4 Gleichungen übri. Theoretisch könnt ich jetzt sagen, dass die die übrig bleiben Unendlich viele Lösungen haben, aber mal sehn was du sagst.

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I  y=0,5x+5

II y=-0,5x+5 (eine Lösung) richtig

I  y=-5x+2

II y=0,20x-3 (eine Lösung) richtig

I  2x-y=0

II 2x+4y-20=0 (keine Lösung)  falsch

I 2y=x+10

II x-y-5=0 (keine Lösung) falsch

Du kannst nicht so vorgehen, da es viel mehr mögliche Gleichungspaare gibt. Vgl. mein Kommentar oben.

Answer 1

Ein Beispiel für unendlich viele Lösungen

I.      y = 1/2 x + 5

II.      2y = x + 10

Grund

2 * I. = II. zweimal dieselbe Gerade.

L = {(x|y)| 2y = x + 10}

 

Ein Beispiel für eine Lösung.

I  y=0,5x+5

II y=-0,5x+5  

Gleichsetzen.

0.5x + 5 = - 0.5x + 5           |-5, :0.5

0.5x = -0.5x        |0.5x

x = 0 dazu y = 0+5 = 5. L = {(0|5)}

 

Keine Lösung:

I. y = 1/5 x -3

II. 5y - 2 = x

 

5*I. 5y = x - 15

Einsetzen in II.

x - 15 - 2 = x      |-x

-17 = 0 Widerspruch.

Also L = { } . Leere Menge!  

 

 

Answer 2

also sicher ist nur, dass wenn du mehr variablen als gleichungen hast, es unendlich viele lösungen geben kann^^ (keine ahnung, ob das immer so ist, daher hab ich jetzt vorsichtshalber mal "kann" gesagt^^ aber spontan hätt ich es einfach mal so festgelegt :D also dass es so is)

eine lösung kann es nur geben wenn du mind. so viele gleichungen wie variablen hast - nur wenn du pech hast gibt es eben trotzdem keine lösung weil i-ein blödsinn rauskommt :D