Wo muss der Punkt P liegen, damit der Inhalt A des Rechtecks maximal wird?

Question

Aufgabe:

a)…Zwischen den beiden Straßen und dem Fluss soll eine achsenparallele rechteckige Sandfläche so angeordnet wer-den, dass eine ihrer Ecken im Ursprung und die diagonal gegenüberliegende Ecke P auf dem südlichen Flussufer
f(x) = 4*e^(-x) liegt. Wo muss der Punkt P liegen, damit der Inhalt A des Rechtecks maximal wird?

b) Das in der vorigen Übung beschriebene Rechteck soll einen minimalen Umfang erhalten. Wo muss der Punkt P nun liegen?

Problem/Ansatz: a) habe ich gelöst in dem ich die Funktion f(x)= 4*x*e^(-x) aufgestellt, abgeleitet und das Maximum errechnet habe. Bei der Aufgabe b) jedoch habe ich keine Ahnung, weil die Funktion ja kein Minimum hat sondern sich asymptotisch der 0 nähert. Kann mir jemand helfen?

Comments

Zwischen den beiden Straßen und dem Fluss

Fehlt dazu nicht der Lageplan?

Answer 1

b) Das in der vorigen Übung beschriebene Rechteck soll einen minimalen Umfang erhalten. Wo muss der Punkt P nun liegen?

Zielfunktion:

\(U(u,v)=2u+2v\) soll minimal werden.

Nebenbedingung:

\(P(u|v)\) liegt auf  \(f(x)=4*e^{-x}\)  → \(v=4*e^{-u}\)

\(U(u)=2u+2*4*e^{-u}=2u+8*e^{-u}\)

u.s.w.

Comments

Danke dir. Hab die Funktion jetzt abgeleitet zu 2-8e^(-x). Wie mache ich jetzt weiter?

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\(2-8*e^{-x}=0|*e^{x}\)

\(2*e^{x}-8=0\)

\(e^{x}=4\)

\(e^{x}=e^{ln(4)}\)

\(x=ln(4)\)     \(y=4*e^{-ln(4)}=\frac{4}{e^{ln(4)}}=1\)

\(U=2*ln(4)+2*1=2*(ln(4)+1)\)

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Okay hab’s jetzt berechnet und bin auf die Koordinaten 1,39|4,77 gekommen. Stimmt das?

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Entschuldigung!

x=ln(4) ist ungefähr 1,39    Aber 4,77 ist der minimale Umfang.

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Okay, Vielen Dank!