Beweisen Sie die drei Eigenschaften von Matrizen.

Question

Aufgabe:

Für jede Zahl c Element der Reellen Zahlen, x Vektor, y Vektor mit n Koordinaten und A, B zwei (m,n)-Matrizen gilt:

c(Ax)=(cA)x=A(cx)

(A+B)x = Ax+Bx

A(x+y)=Ax+Ay

Beweisen Sie die drei Eigenschaften.

Answer 1

Ok dazu brauchen wir erstmal die Definition des Matrix-Vektor-Produkts, das lautet: \( y_{i} = Ax = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot x_{j} \) denn das Ergebnis einer Matrix-mal-Vektor ist wieder ein Vektor. Das heißt \( y_{1}, y_{2}, y_{3}, \dots\) sind die erste, zweite, dritte, ... Komponente des Ergebnisvektors. Nun zum ersten Beispiel:

\( c(Ax) \underset{\textbf{Definition}}{=} c \cdot y_{i} = c \cdot \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot x_{j} \underset{\textbf{ziehe c in die Summe}}{=} \sum_{j=1}^{n} c \cdot a_{ij} \cdot x_{j} \underset{\textbf{Assoziativgesetz}}{=} \sum_{j=1}^{n} (c \cdot a_{ij}) \cdot x_{j} = (cA)x\). Analog machst du das für \( A(cx)\).

Die anderen Beispiele funktionieren alle nach dem selben Schema, wichtig ist einfach nur, dass du die Summenschreibweise für das Matrix-Vektor-Produkt verwendest :)

Falls du Hilfe brauchst einfach fragen !