Zeigen oder widerlegen Sie: Eigenschaften von Matrizen

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie:

(a)

Sei K ein Körper, n ∈ ℕ und sei A ∈ M_n,n(K) mit A² = E_n (= Einheitsmatrix). Dann ist A invertierbar.

(b)

Sei Φ: ℝⁿ → ℝⁿ linear. Seien A, B Basen von ℝⁿ. Dann gilt:
det(M^A_B (Φ)) = det(M^En_En (Φ))

Answer 1

Hallo,

zu a). Es gilt

\( 1 = \det(E_n) = \det(A^2) = det(A)^2 \quad \Rightarrow \det(A) \neq 0\), d.h. A ist invertierbar.

zu b). Betrachte etwa \( \phi: \, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, x \mapsto x \)

Setze \( A = (e_1, e_2), \, B = (e_2, e_1) \) Dann ist \( \det(M^A_B(\phi)) = -1 \neq 1 = \det(M^{E_2}_{E_2}(\phi)) \)