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Aufgabe:

Sei fK[X] f \in K[X] ein Polynom vom Grad nn und KL K \subseteq L der Zerfallungskörper von ff.

Zeigen Sie, dass [L : K][L:K] ein Teiler von n!n! ist.


Problem/Ansatz:

Es wurde der Hinweis gegeben vollständige Induktion zu verwenden.

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Formuliere doch schon mal Induktionsanfang, -voraussetzung und -behauptung.

Tipp für den Induktionsschritt: Mache eine Fallunterscheidung zwischen f irreduzibel und f reduzibel.

Induktionsanfang:

Für grad(f)=n=1grad(f)=n=1 gilt f=X+a f=X+a , mit aK a \in K , daraus folgt f(a)=0f(-a)=0 und K=LK=L, also [L : K]=1[L:K] = 1.

Induktionsvoraussetzung, & -behauptung:

Sei fK[X] f \in K[X] mit grad(f)=n grad(f) = n und Zerfällungskörper KL K \subseteq L und [L : K]n! [L:K] | n! , dann gilt für ein f2L[X] f_2 \in L[X] mit grad(f2)=n+1 grad(f_2) = n+1 und Zerfällungskörper LZ L \subseteq Z , [Z : L]n!(n+1) [Z:L] | n!(n+1) .

in kurz: [L : K]n!=>[Z : L](n+1)! [L:K]|n! => [Z:L] | (n+1)!

Ok, das sieht doch schon einmal ganz gut aus. Beim zweiten Polynom solltest du aber auch Z|K betrachten und nicht Z|L!

jetzt verwende den Tipp oben,

Wenn f irreduzibel ist und du dir eine Nullstelle x in einem algebraischen Abschluss suchst, was gilt dann für [K(x):K] sagen? Z entsteht ja durch Adjunktion aller Nullsten von f zu K. Jetzt haben wir in K(x) schon eine hinzugefügt, fehlen noch die Nullstellen von g(t) = f(t) / (t - x) das ist ein Polynom vom Grad n.

Falls f = g * h reduzibel kannst du zuerst den Zerfällungskörper Z_1 von g über K betrachten und anschließend den Zerfällungskörper Z_2 von h über Z_1. Dann musst du dir auch hier kurz überlegen warum Z = Z_2 und dann kannst du zweimal die IV auf die beiden Grade [Z_2:Z_1] und [Z_1:K] anwenden.

Für f irreduzibel:

Ich weiß, dass [K(x) : K]=deg(f) [K(x):K] = deg(f) ist, falls f das Minimalpolynom von x ist. Aber kann ich sicher davon ausgehen, dass es das ist?

Wenn das so ist und g(t)=f(t)/(tx)g(t) = f(t)/(t-x) noch ein Polynom von Grad n ist, dann würde ich die nächste Nullstelle y an K(x)K(x) adjungieren und es würde gelten: [K(x,y) : K(x)]=deg(g)[K(x,y):K(x)] = deg(g), falls g wieder ein Minimalpolynom ist.

Mit dem Gradsatz komme ich auf [K(x,y) : K]=[K(x,y) : K(x)][K(x) : K] [K(x,y):K] = [K(x,y):K(x)] \cdot [K(x):K] . Wenn ich das für alle n Nullstellen mache, komme ich am Ende also auf [L : K]=12...n[L:K] = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n. Diese Argumentation ist aber hinfällig, wenn das Polynom kein Minimalpolynom ist.

Ich weiß, dass [K(x) : K]=deg(f) [K(x):K] = deg(f) ist, falls f das Minimalpolynom von x ist. Aber kann ich sicher davon ausgehen, dass es das ist?

Da f(x)=0 ist das Mipo von x ein Teiler von f. Jetzt ist f aber irreduzibel, also muss das Mipo schon f sein.

Und beim Rest kannst du es dir viel einfacher machen: Begründe, warum g in K(x)[t] liegt, dann ist L der Zerfällungskörper von g über K(x) die IV liefert also [L:K(x)] | n! Und [K(x):K]=deg(f)=n+1, also [L:K] | (n+1)!.

falls g wieder ein Minimalpolynom ist.

Das muss im allgemeinen nicht gelten.

zB f=t4+t3+t2+t+1 f = t^4 +t^3+t^2+t+1 ist irreduzibel über Q. Der Körper Q(ζ5) \mathbb Q (\zeta_5) mit primitiver 5ter EW ist bereits der Zerfällungskörper, also insb. zerfällt g=f/(tζ5) g =f/(t-\zeta_5) auch darüber und kann nicht irreduzibel sein.

Okay, ich denke ich habe den Fall f irreduzibel jetzt verstanden, aber f reduzibel habe ich noch nicht durchschaut.

Sei f=gh f=g \cdot h mit deg(f)=n+1 deg(f) = n+1 . Dann könnte ich gg so wählen, dass es wieder irreduzibel ist. Daraus folgt dann, dass für eine Nullstelle yK y \notin K , g(y)=0g(y)=0 der Grad [K(y) : K]=deg(g)<n+1 [K(y):K] = deg(g) \lt n+1 ist. Über K(y)[X]K(y)[X] betrachte ich dann noch hh mit deg(h)<n+1 deg(h) < n+1 und p=g/(Xy) p = g/(X-y) mit deg(p)=deg(g)1 deg(p) = deg(g)-1 . Da f=gh=p(Xy)h f=g \cdot h = p \cdot (X-y) \cdot h ist, gilt deg(ph)=n deg(p \cdot h) = n .

Wenn Z2Z_2 der Zerfällungskörper von hh ist und Z1 Z_1 der Zerfällungskörper von gg, dann gilt auf jeden Fall [Z2 : K]=[Z2 : Z1][Z1 : K]=[Z2 : Z1][Z1 : K(y)][K(y) : K] [Z_2 : K] = [Z_2 : Z_1] \cdot [Z_1 : K] = [Z_2 : Z_1] \cdot [Z_1:K(y)] \cdot [K(y):K] .

Wie kann ich jetzt die IV anwenden und wie bekomme ich n+1 in die Gleichung? Über hh und pp habe ich ja keine weiteren Informationen.

Du denkst da wieder etwas zu komliziert. f=g*h, sei Z der ZFK von g über K, dann ist L der ZFK von h über Z, also

[L:K]=[L:Z]*[Z:K]

der erste Faktor teilt (deg h)! der zweite (deg g)! nach IV. Warum teilt dann ihr Produkt (deg f)!=(deg g + deg h)!

Also zz a | u! und b | v! dann gilt a*b | (u+v)!... Vielleicht schaust du dir dazu mal Binomialkoeffizienten an, die sind ja von der Form (u+v)!/(u! * v!) und immer natürliche Zahlen.

der erste Faktor teilt (deg h)! der zweite (deg g)! nach IV

Darf ich die IV auf h und g anwenden? Ich dachte wenn ich die IV für ein Polynom von Grad n aufgestellt habe, dann darf ich sie auch nur für dieses n verwenden. Die Polynome h und g sind ja nicht beide von Grad n.

Oh ja, dass ist natürlich richtig... Aber das kannst du einfach ganz einfach reparieren indem du in die IV mit degfn\deg f\le n formulierst. Das ist dann streng genommen eine starke Induktion:

https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion#Starke_Ind…

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