Für f irreduzibel:
Ich weiß, dass [K(x) : K]=deg(f) ist, falls f das Minimalpolynom von x ist. Aber kann ich sicher davon ausgehen, dass es das ist?
Wenn das so ist und g(t)=f(t)/(t−x) noch ein Polynom von Grad n ist, dann würde ich die nächste Nullstelle y an K(x) adjungieren und es würde gelten: [K(x,y) : K(x)]=deg(g), falls g wieder ein Minimalpolynom ist.
Mit dem Gradsatz komme ich auf [K(x,y) : K]=[K(x,y) : K(x)]⋅[K(x) : K]. Wenn ich das für alle n Nullstellen mache, komme ich am Ende also auf [L : K]=1⋅2⋅...⋅n. Diese Argumentation ist aber hinfällig, wenn das Polynom kein Minimalpolynom ist.