Zeigen Sie, dass [L:K] ein Teiler von n! ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( f \in K[X] \) ein Polynom vom Grad \(n\) und \( K \subseteq L \) der Zerfallungskörper von \(f\).

Zeigen Sie, dass \([L:K]\) ein Teiler von \(n!\) ist.

Problem/Ansatz:

Es wurde der Hinweis gegeben vollständige Induktion zu verwenden.

Comments

Formuliere doch schon mal Induktionsanfang, -voraussetzung und -behauptung.

Tipp für den Induktionsschritt: Mache eine Fallunterscheidung zwischen f irreduzibel und f reduzibel.

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Induktionsanfang:

Für \(grad(f)=n=1\) gilt \( f=X+a \), mit \( a \in K \), daraus folgt \(f(-a)=0\) und \(K=L\), also \([L:K] = 1\).

Induktionsvoraussetzung, & -behauptung:

Sei \( f \in K[X]  \) mit \( grad(f) = n \) und Zerfällungskörper \( K \subseteq L \) und \( [L:K] | n! \), dann gilt für ein \( f_2 \in L[X] \) mit \( grad(f_2) = n+1 \) und Zerfällungskörper \( L \subseteq Z \), \( [Z:L] | n!(n+1) \).

in kurz: \( [L:K]|n! => [Z:L] | (n+1)! \)

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Ok, das sieht doch schon einmal ganz gut aus. Beim zweiten Polynom solltest du aber auch Z|K betrachten und nicht Z|L!

jetzt verwende den Tipp oben,

Wenn f irreduzibel ist und du dir eine Nullstelle x in einem algebraischen Abschluss suchst, was gilt dann für [K(x):K] sagen? Z entsteht ja durch Adjunktion aller Nullsten von f zu K. Jetzt haben wir in K(x) schon eine hinzugefügt, fehlen noch die Nullstellen von g(t) = f(t) / (t - x) das ist ein Polynom vom Grad n.

Falls f = g * h reduzibel kannst du zuerst den Zerfällungskörper Z_1 von g über K betrachten und anschließend den Zerfällungskörper Z_2 von h über Z_1. Dann musst du dir auch hier kurz überlegen warum Z = Z_2 und dann kannst du zweimal die IV auf die beiden Grade [Z_2:Z_1] und [Z_1:K] anwenden.

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Für f irreduzibel:

Ich weiß, dass \( [K(x):K] = deg(f)\) ist, falls f das Minimalpolynom von x ist. Aber kann ich sicher davon ausgehen, dass es das ist?

Wenn das so ist und \(g(t) = f(t)/(t-x)\) noch ein Polynom von Grad n ist, dann würde ich die nächste Nullstelle y an \(K(x)\) adjungieren und es würde gelten: \([K(x,y):K(x)] = deg(g)\), falls g wieder ein Minimalpolynom ist.

Mit dem Gradsatz komme ich auf \( [K(x,y):K] = [K(x,y):K(x)] \cdot [K(x):K] \). Wenn ich das für alle n Nullstellen mache, komme ich am Ende also auf \([L:K] = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n\). Diese Argumentation ist aber hinfällig, wenn das Polynom kein Minimalpolynom ist.

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Ich weiß, dass \( [K(x):K] = deg(f)\) ist, falls f das Minimalpolynom von x ist. Aber kann ich sicher davon ausgehen, dass es das ist?

Da f(x)=0 ist das Mipo von x ein Teiler von f. Jetzt ist f aber irreduzibel, also muss das Mipo schon f sein.

Und beim Rest kannst du es dir viel einfacher machen: Begründe, warum g in K(x)[t] liegt, dann ist L der Zerfällungskörper von g über K(x) die IV liefert also [L:K(x)] | n! Und [K(x):K]=deg(f)=n+1, also [L:K] | (n+1)!.

falls g wieder ein Minimalpolynom ist.

Das muss im allgemeinen nicht gelten.

zB \( f = t^4 +t^3+t^2+t+1\) ist irreduzibel über Q. Der Körper \( \mathbb Q (\zeta_5) \) mit primitiver 5ter EW ist bereits der Zerfällungskörper, also insb. zerfällt \( g =f/(t-\zeta_5) \) auch darüber und kann nicht irreduzibel sein.

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Okay, ich denke ich habe den Fall f irreduzibel jetzt verstanden, aber f reduzibel habe ich noch nicht durchschaut.

Sei \( f=g \cdot h \) mit \( deg(f) = n+1 \). Dann könnte ich \(g\) so wählen, dass es wieder irreduzibel ist. Daraus folgt dann, dass für eine Nullstelle \( y \notin K \), \(g(y)=0\) der Grad \( [K(y):K] = deg(g) \lt n+1 \) ist. Über \(K(y)[X]\) betrachte ich dann noch \(h\) mit \( deg(h) < n+1 \) und \( p = g/(X-y) \) mit \( deg(p) = deg(g)-1 \). Da \( f=g \cdot h = p \cdot (X-y) \cdot h \) ist, gilt \( deg(p \cdot h) = n \).

Wenn \(Z_2 \) der Zerfällungskörper von \(h\) ist und \( Z_1 \) der Zerfällungskörper von \(g\), dann gilt auf jeden Fall \( [Z_2 : K] = [Z_2 : Z_1] \cdot [Z_1 : K] = [Z_2 : Z_1] \cdot [Z_1:K(y)] \cdot [K(y):K] \).

Wie kann ich jetzt die IV anwenden und wie bekomme ich n+1 in die Gleichung? Über \(h\) und \(p\) habe ich ja keine weiteren Informationen.

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Du denkst da wieder etwas zu komliziert. f=g*h, sei Z der ZFK von g über K, dann ist L der ZFK von h über Z, also

[L:K]=[L:Z]*[Z:K]

der erste Faktor teilt (deg h)! der zweite (deg g)! nach IV. Warum teilt dann ihr Produkt (deg f)!=(deg g + deg h)!

Also zz a | u! und b | v! dann gilt a*b | (u+v)!... Vielleicht schaust du dir dazu mal Binomialkoeffizienten an, die sind ja von der Form (u+v)!/(u! * v!) und immer natürliche Zahlen.

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der erste Faktor teilt (deg h)! der zweite (deg g)! nach IV

Darf ich die IV auf h und g anwenden? Ich dachte wenn ich die IV für ein Polynom von Grad n aufgestellt habe, dann darf ich sie auch nur für dieses n verwenden. Die Polynome h und g sind ja nicht beide von Grad n.

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Oh ja, dass ist natürlich richtig... Aber das kannst du einfach ganz einfach reparieren indem du in die IV mit \(\deg f\le n\) formulierst. Das ist dann streng genommen eine starke Induktion:

https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion#Starke_Induktion