Aufgabe:
Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und sei zudem f : V → W eine lineare
Abbildung. Zeigen oder widerlegen Sie:
(i) Ist (v1, . . . , vn) ∈ V n linear unabhängig, so ist auch (f (v1), . . . , f (vn)) ∈ W n linear unab-
hängig.
(ii) Ist f zusätzlich injektiv und ist (v1, . . . , vn) ∈ V n linear unabhängig, so ist auch das Tupel
(f (v1), . . . , f (vn)) ∈ W n linear unabhängig.
(iii) Ist (v1, . . . , vn) ∈ V n so, dass (f (v1), . . . , f (vn)) ∈ W n linear unabhängig ist, so ist auch
(v1, . . . , vn) ∈ V n linear unabhängig.
(iv) Ist f ein Isomorphismus und ist (v1, . . . , vn) ∈ V n eine Basis, so ist auch das Tupel
(f (v1), . . . , f (vn)) ∈ W n eine Basis.
(v) Ist (v1, . . . , vn) ∈ V n eine Basis so, dass (f (v1), . . . , f (vn)) ∈ W n eine Basis ist, so ist f
bereits ein Isomorphismus.
