Punktweise Grenzfunktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei für alle \( n \in \mathbb{N} \) die Funktionenfolge \( f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert durch
\( f_{n}(x)=\left(\frac{\sin (n x)}{n+1}+1,\left(e^{x}+1\right)^{\frac{1}{n}}\right) . \)
Bestimmen Sie die punktweise Grenzfunktion \( f \) von \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).

Problem/Ansatz:

Wie kann ich die punktweise Grenzfunktion zeigen?

Answer 1

Für jedes \(x\in \mathbb{R}\) ist wegen \(|\frac{\sin(nx)}{n+1}|\leq \frac{1}{n+1}\)

\(\frac{\sin(nx)}{n+1}\) eine Nullfolge.

Ferner ist für \(x\in [0,1]\)

\(1\leq (e^x+1)^{1/n}\leq 4^{1/n}\rightarrow 1\) für \(n\to \infty\).

Answer 2

Hallo

stell dir ein konkretes x vor,  mal groß ,mal klein , positiv oder negativ und dann bilde die GW der 2 Komponenten (sie sind (1 ,1)

lul