Aloha :)
Mit dem Rotationsintegral berechnet man das Volumen von Rotationskörpern.
Wenn der Graph der Funktion \(f(x)\) um die \(x\)-Achse rotiert, entsteht an der Stelle \(x\) ein Kreis senkrecht zur \(x\)-Achse mit Mittelpunkt auf der \(x\)-Achse und Radius \(r=f(x)\). Die Fläche dieses Kreises ist \(\pi\,r^2=\pi\,f^2(x)\). Wenn du nun die Flächen all dieser Kreise entlang der \(x\)-Achse für alle \(x\in\mathbb D\) aus dem Definitionsbereich \(\mathbb D\) summierst, erhältst du das Rotationsvolumen$$V=\int\limits_{x\in\mathbb D}\pi\,f^2(x)\,dx$$
Hier ist \(x>0\) also \(x\in(0;\infty)\) und \(f(x)=\frac{1}{3x+1}\). Das Rotationsintegral ist also:$$V=\int\limits_{x=0}^\infty\frac{\pi}{(3x+1)^2}\,dx=\left[-\frac{\pi}{3\cdot(3x+1)}\right]_{x=0}^\infty=0+\frac{\pi}{3}=\frac\pi3$$
Das Volumen ist des Rotationskörpers ist also endlich.
In Teil (b) wirst du feststellen, dass die Fläche zwischen der \(x\)-Achse und dem Graphen$$F=\int\limits_{x\in\mathbb D}f(x)\,dx=\int\limits_{x=0}^\infty\frac{\pi}{3x+1}\,dx=\left[\frac13\ln(3x+1)\right]_{x=0}^\infty\to\infty$$unendlich ist, weil die Logarithmusfunktion für \(x\to\infty\) ins Unendliche wächst.
Das ist ein interessantes Ergebnis. Du kannst den Rotationskörper komplett mit Farbe füllen, aber es gibt nicht genug Farbe, um die Fläche zwischen der \(x\)-Achse und dem Graphen anzumalen.
