Was ist ein Rotationsintegral und wie berechnet man dieses?

Question

Aufgabe:

Geg: $\displaystyle f: x \rightarrow \frac{1}{3 x+1}\quad ; \quad x>0$

a) Berechnen Sie das uneigentliche Rotationsintegral für die Funktion für x>0.

b) Diskutieren Sie, ob für die unbegrenzte Fläche zwischen Fläche zwischen den Graph der Funktion f und der x-Achse ein uneigentliches integral für x>0 existiert.

Problem/Ansatz:

Was ist ein Rotationsintegral und wie berechnen ich diesen?

Comments

Dein Rotationsinegral ist ein uneigentliches Rotationsintegral. Darum steht es so in der Aufgabe.

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Das kann man aber nicht einfach "Rotationsintegral" nennen. Analog kann man etwa einen Verweis wegen Nichtbeachtung eines Stoppsignals nicht einfach einen "Verweis" nennen und darauf vertrauen, dass alle wissen, was damit dann gemeint sein soll.

Answer 1

Aloha :)

Mit dem Rotationsintegral berechnet man das Volumen von Rotationskörpern.

Wenn der Graph der Funktion $f(x)$ um die $x$-Achse rotiert, entsteht an der Stelle $x$ ein Kreis senkrecht zur $x$-Achse mit Mittelpunkt auf der $x$-Achse und Radius $r=f(x)$. Die Fläche dieses Kreises ist $\pi\,r^2=\pi\,f^2(x)$. Wenn du nun die Flächen all dieser Kreise entlang der $x$-Achse für alle $x\in\mathbb D$ aus dem Definitionsbereich $\mathbb D$ summierst, erhältst du das Rotationsvolumen$$V=\int\limits_{x\in\mathbb D}\pi\,f^2(x)\,dx$$

Hier ist $x>0$ also $x\in(0;\infty)$ und $f(x)=\frac{1}{3x+1}$. Das Rotationsintegral ist also:$$V=\int\limits_{x=0}^\infty\frac{\pi}{(3x+1)^2}\,dx=\left[-\frac{\pi}{3\cdot(3x+1)}\right]_{x=0}^\infty=0+\frac{\pi}{3}=\frac\pi3$$

Das Volumen ist des Rotationskörpers ist also endlich.

In Teil (b) wirst du feststellen, dass die Fläche zwischen der $x$-Achse und dem Graphen$$F=\int\limits_{x\in\mathbb D}f(x)\,dx=\int\limits_{x=0}^\infty\frac{\pi}{3x+1}\,dx=\left[\frac13\ln(3x+1)\right]_{x=0}^\infty\to\infty$$unendlich ist, weil die Logarithmusfunktion für $x\to\infty$ ins Unendliche wächst.

Das ist ein interessantes Ergebnis. Du kannst den Rotationskörper komplett mit Farbe füllen, aber es gibt nicht genug Farbe, um die Fläche zwischen der $x$-Achse und dem Graphen anzumalen.

Comments

Den letzten Satz finde ich ja faszinierend, hier zum ersten Mal gelesen.