Aloha :)
Wenn eine Funktion \(f(r)\) nur vom Betrag des Vektors \(\vec r\) abhängt, gilt für die k-te Komponente des Gradienten mittels der Kettenregel$$\operatorname{grad}_kf(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x_k}=f'(r)\cdot\frac{\partial}{\partial x_k}\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}$$$$\phantom{\operatorname{grad}_kf(r)}=f'(r)\cdot\frac{2x_k}{2\sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}}=f'(r)\cdot\frac{x_k}{r}$$Das heißt für den gesamten Gradienten:$$\operatorname{grad}f(r)=f'(r)\cdot\begin{pmatrix}x_1/r\\\vdots\\x_n/r\end{pmatrix}=f'(r)\cdot\frac{\vec r}{r}=f'(r)\cdot\vec r^0$$
Damit schreibst du den Integranden als Graident einer Funktion:$$\small I=\int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2}\frac{\vec r-\vec r_0}{\left\|\vec r-\vec r_0\right\|^3}\,d(\vec r-\vec r_0)=\int\limits_{\vec r_1-\vec r_0}^{\vec r_2-\vec r_0}\frac{\vec r}{r^3}\,d\vec r=\int\limits_{\vec r_1-\vec r_0}^{\vec r_2-\vec r_0}\frac{\vec 1}{r^2}\,\vec r^0\,d\vec r=\int\limits_{\vec r_1-\vec r_0}^{\vec r_2-\vec r_0}\operatorname{grad}\left(-\frac1r\right)\,d\vec r$$
Wegen des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung bleibt dann einfach:$$I=\left[-\frac1r\right]_{\vec r_1-\vec r_0}^{\vec r_2-\vec r_0}=\frac{1}{\left\|\vec r_1-\vec r_0\right\|}-\frac{1}{\left\|\vec r_2-\vec r_0\right\|}$$
