Bestimme die Funktionsgleichung f(x)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die erste Ableitung f´(x)= 1,5x^2-4x+3 einer Funktion f(x).

Der Graph Gf verläuft durch den Punkt P(4I8).

Bestimme die Funktionsgleichung f(x).

Problem/Ansatz:

Könnte mir das jemand Schritt für Schritt erklären, bitte.

Danke :)

Answer 1

Hallo,

\(f'(x)=1,5x^2-4x+3\)

Bestimme die Stammfunktion nach der Regel

\( f(x)=a \cdot x^{n} \quad \Longrightarrow \quad F(x)=\frac{a \cdot x^{n+1}}{n+1}+C \)

Hier also

\(f(x)=0,5x^3-2x^2+3x+C\)

Um C zu bestimmen, setzt du die Koordinaten von P in die Gleichung ein.

\(8=0,5\cdot 4^3-2\cdot 4^2+3\cdot 4+C\\ -4=C\)

Damit lautet die Funktionsgleichung \(f(x)=0,5x^3-2x^2+3x-4\)

Gruß, Silvia

Answer 2

f´(x)= 1,5x²-4x+3

==>  um zu f zu kommen, musst du das Ableiten rückwärts machen.

Da beim Ableiten aus x^3 ja 3x^2 wird, versuche beim ersten 1. Summanden

3x^2 zu erreichen, etwa so

f´(x)= 0,5*3x²-4x+3   und beim zweiten sowas wie 2x etc , also

f´(x)= 0,5*3x²-2*2x+3   Dann müsste f also so aussehen

f(x)=0,5*x^3 -2*x^2 +3x + c. Das c ist irgendeine Konstante, die

ja beim Ableiten wegfällt, also beim Zurücküberlegen dazu genommen werden

muss.

Wegen "Punkt P(4I8)"  muss gelten f(4)=8 . Damit kannst du c bestimmen:

f(4)=0,5*64 -2*16 +3*4 + c = 8

<=>              12 + c = 8  . Also c=-4 .

==>  f(x)=0,5*x^3 -2*x^2 +3x -4.

Answer 3

f '(x) integrieren um zu f(x) zu gelangen

f(x)= 0,5x^3-2x^2+3x +C

C bestimmen:

f(4) = 8

32-32+12+C = 8

C= -4

f(x) = 0,5x^3-2x^2+3x-4