Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen beschreiben und neue relation beweisen

Question

Hallo, ich habe Schwierigkeiten bei folgender
Aufgabe:

Auf \(M= \mathbb{N} x \mathbb{N} \) definieren wir eine Relation ~ durch
\( (a, b)∼(c, d) ⇔ a+d = b+c \) .

a)  Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf M ist! -> Habe ich geschafft
b)  Beschreiben Sie die Äquivalenzklassen [(1,1)] und [(3,1)] !
c)  Wir definieren eine Addition ⊕ auf M/∼ durch komponentenweise Addition, d.h. \([(a, b)]⊕[(c, d)] := [(a+c, b+d)] \) .
Zeigen Sie die Wohldefiniertheit, d.h. zeigen Sie, dass für \((a, b)∼(a′, b′) \) und \((c, d)∼(c′, d′) \) auch
\((a+c, b+d)∼(a′+c′, b′+d′) \) gilt!
d)  Die Menge \(M/∼\) mit der so definierten Addition ist eine in der Mathematik wohl bekannte Menge. Welchen Namen hat diese Menge?

Problem/Ansatz:
Bei der a konnte ich eine Äquivalenzrelation beweisen durch die drei Eigenschaften.

Die b verstehe ich nicht. Ich weiß nicht, wieso diese 2er tupel eine Äquivalenzklasse darstellen.

Soll in der c) statt die in der Definition verwendete Relation nun die neue Addition verwendet werden ? Oder wie macht man das ?

Man kann sich denken, dass die d) mir in folge dessen auch Probleme bereitet.

Ich freue mich über jede Antwort und Danke im Voraus !

Answer 1

wieso diese 2er tupel eine Äquivalenzklasse darstellen.

Das tun sie nicht. Sie stellen zwei Äquivalenzklassen dar. \([(1,\ 1)]\) ist eine Äquivalenzklasse und \([(3,\ 1)]\) ist eine andere Äquivalenzklasse.

Soll in der c) statt die in der Definition verwendete Relation nun die neue Addition verwendet werden ?

Nein. In der Aufgabenstellung steht nicht, dass du etwas verwenden sollst. In der Aufgabenstellung steht, dass du etwas zeigen sollt. Damit ist gemeint, dass du etwas beweisen sollst.

Oder wie macht man das ?

Seien \(a,\ a',\ b,\ b',\ c,\ c',\ d,\ d'\in \mathbb{N}\) mit

        \((a, b)∼(a', b') \) und \((c, d)∼(c', d') \).

Beweise, dass

        \((a+c,\ b+d)∼(a'+c',\ b'+d') \)

ist.

Tipp. Unter den obigen Voraussetzungen ist

        \((a+c,\ b+d)∼(a'+c',\ b'+d') \)

genau dann wenn

        \((a+c) + (b'+d') = (b+d) + (a'+c')\)

Man kann sich denken, dass die d) mir in folge dessen auch Probleme bereitet.

Zeige

        \(\begin{aligned}{M/∼} =& \{[(n,0)] |\ n\in \mathbb{N}\setminus\{0\}\}\ \dot\cup\\&\{[(0,n)] |\ n\in \mathbb{N}\setminus\{0\}\}\ \dot\cup\\&\{[(0,0)]\}\end{aligned}\)

Berechne dann zum Beispiel \(n\) in

        \([(10,0)] \oplus [(0,2)] = [(n,0)]\)

und in

        \([(6,0)] \oplus [(0,10)] = [(0,n)]\)