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Aufgabe:


bei der folgenden Aufgabe zur Diffbarkeit, komme ich nicht wirklich auf einen Ansatz und würde mich freuen wenn jemand einen Tipp parat hätte. :


Sei die Folge an definiert durch a0 = 2^(1/2) und an+1 = ( 2 + an )^(1/2). Zeigen Sie, dass an konvergiert.

Hinweis : Zeigen Sie, dass 0  ≤  an  ≤  2 und an  ≤  an+1


Beim Beweis der Beschränktheit stehe ich auf weiter Flur.




LG

Problem/Ansatz:

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Der Induktionsschritt für die 2 als obere Schranke:

Sei \(a_n\leq 2\), dann gilt wegen der Monotonie

von \(x\mapsto \sqrt{x}\):

\(a_n\leq 2\Rightarrow a_n+2\leq 4\Rightarrow a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}\leq \sqrt{4}=2\).

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0  ≤  an  ist ja wohl klar. Ich würde dann eher auf

1≤  an ≤  2    gehen.

Das kannst du dann ja per Induktion beweisen.

Es gilt für n=0.

Dann ist zu zeigen  1≤ an+1 ≤  2

Da nichts negativ ist, kannst du quadrieren

<==>     1 ≤ (an +1) 2   ≤  4

<==>    1 ≤  an + 2  ≤  4

<==>    -1 ≤  an ≤  2

Was wegen der Ind.annahme erfüllt ist.

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