Zeigen Sie, dass an konvergiert.

Question

Aufgabe:

bei der folgenden Aufgabe zur Diffbarkeit, komme ich nicht wirklich auf einen Ansatz und würde mich freuen wenn jemand einen Tipp parat hätte. :

Sei die Folge an definiert durch a0 = 2^(1/2) und an+1 = ( 2 + an )^(1/2). Zeigen Sie, dass an konvergiert.

Hinweis : Zeigen Sie, dass 0  ≤  an  ≤  2 und an  ≤  an+1

Beim Beweis der Beschränktheit stehe ich auf weiter Flur.

LG

Problem/Ansatz:

Answer 1

Der Induktionsschritt für die 2 als obere Schranke:

Sei \(a_n\leq 2\), dann gilt wegen der Monotonie

von \(x\mapsto \sqrt{x}\):

\(a_n\leq 2\Rightarrow a_n+2\leq 4\Rightarrow a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}\leq \sqrt{4}=2\).

Answer 2

0  ≤  a_n  ist ja wohl klar. Ich würde dann eher auf

1≤  a_n ≤  2    gehen.

Das kannst du dann ja per Induktion beweisen.

Es gilt für n=0.

Dann ist zu zeigen  1≤ a_n+1 ≤  2

Da nichts negativ ist, kannst du quadrieren

<==>     1 ≤ (a_{n +1}) ²   ≤  4

<==>    1 ≤  a_n + 2  ≤  4

<==>    -1 ≤  a_n ≤  2

Was wegen der Ind.annahme erfüllt ist.