Gleichung auflösen nach x

Question

Aufgabe:

\(\begin{aligned} \frac{x-10}{x-7}&=2&&-\frac{x+3}{x-3} \quad \quad \quad \quad \mid \cdot \, (x-3) \\\\ \frac{(x-10)(x-3)}{x-7}&=2(x-3)&&-(x+3) \end{aligned}\)

Problem/Ansatz:

Warum steht auf der rechten Seite * (x-3) müsste das nicht nur auf der linken Seite stehen? Könnte mir das jemand erklären?

Comments

Man multipliziert einen Faktor mit einer Summe, indem man ihn mit jedem Summanden multipliziert.

D.h. mit anderen Worten, (x-3) muss auch mit 2 multipliziert werden.

Answer 1

\( \frac{x-10}{x-7}=2-\frac{x+3}{x-3}       |*(x-3) \)  Auch die 2 muss mit (x-3) multipliziert werden

Das, was du auf der linken Seite machst , muss du unbedingt auch auf der rechten Seite machen.

\( \frac{(x-10)*(x-3)}{x-7}=2*(x-3)-(x+3)    \)

Mit Buchstaben:

\( \frac{a}{b}=c-\frac{d}{e}  |*e \)

\( \frac{a*e}{b}=c*e-d | \)

Answer 2

Hallo,

ich habe ein paar Zeilen eingefügt.

\( \begin{array}{l} \dfrac{x-10}{x-7}=2-\dfrac{x+3}{x-3} \\    \dfrac{x-10}{x-7}\cdot(x-3)=(2-\dfrac{x+3}{x-3})\cdot(x-3) \\   \dfrac{(x-10)(x-3)}{x-7}=2\cdot(x-3)-\dfrac{(x+3)(x-3)}{x-3} \\ \dfrac{(x-10)(x-3)}{x-7}=2(x-3)-(x+3) \\[5mm] \frac{x^{2}-3 x-10 x+30}{x-7}=2 x-6-x-3 \\ x^{2}-3 x-10 x+30=(x-9)(x-7) \\ x^{2}-3 x-10  x-9 x+63 \\ -13 x+30=-16 x+63 \\ 3 x=33 \\ x=11 \end{array} \)

Answer 3

Möchte man nicht die Gleichung mit den Nennern multiplizieren, würde es auch so gehen: $$ \begin{aligned} \dfrac{x-10}{x-7} &= 2-\dfrac{x+3}{x-3} \\[1em] \dfrac{x-10}{x-7} &= \dfrac{2\cdot\left(x-3\right)-\left(x+3\right)}{x-3} \\[1em] \dfrac{x-10}{x-7} &= \dfrac{x-9}{x-3} \\[1em] \dfrac{x-10}{3} &= \dfrac{x-9}{6} \\[1em] 2\cdot\left(x-10\right) &= x-9 \\[1em] x &= 11. \end{aligned} $$

Comments

Wie kommst du von Zeile 3 zu Zeile 4?

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Ich habe die Zähler von den Nennern subtrahiert.

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Kurios.

War mir irgendwie gar nicht präsent, dass man das darf.

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Doch, mit Verhältnisgleichungen darf man so einiges. Der Sinn der ersten Umformung oben besteht denn auch darin, aus der ursprünglichen Gleichung eine Verhältnisgleichung zu machen.

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Kaum zu glauben, dass ich beim Bruchrechnen noch mal was Neues gelernt habe.

Danke!