Wie kommt man von einer Schreibweise zur anderen?

Question

Aufgabe:

Wie kommt man von der Summenformelschreibweise zu dieser anderen Formel?

Text erkannt:

\( \sum \limits_{i=n^{2}}^{n^2+n}i=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{2} \)

Problem/Ansatz:

(Bitte eine ausführliche Rechenanleitung)

Comments

Was soll denn aufsummiert werden?

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https://www.mathelounge.de/492105/gelten-folgende-gleichungen-welches-muster-resultiert-daraus

Ich beziehe mich auf diesen Beitrag, wo es offen gebleiben ist, wie man von einer Form zur anderen kommt.

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Nebenbemerkung:

Zur selben Summe kommt man auch auf anderem Weg, nämlich:

3 · Summe der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen

https://www.math.uni-bielefeld.de/~ringel/puzzle/puzzle02/summen3.htm

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Wolf Ram meint dazu:

https://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bsum+i%2C+i%3Dn%5E2+to+n%5E2%2Bn%5D++%3D++3*%5Bsum+i%5E2%2C+i%3D1+to+n%5D

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Korollar:

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+%283i%5E2-i-n%5E2%29%2Ci%3D0+to+n%5D

Summiert man die Terme  3 i² - i - n²  für i von 0 bis n, so ergibt sich die Summe Null.

Answer 1

Die Summe besteht einer Folge von n^2 + n - n^2 + 1 = n + 1 Zahlen.

n^2 ist dabei die erste Zahl und n^2 + n die letzte Zahl. Damit berechnet sich die Summe aus

1/2·((n^2) + (n^2 + n))·(n + 1)
= 1/2·(2·n^2 + n)·(n + 1)
= 1/2·n·(2·n + 1)·(n + 1)

Was zu zeigen war.

Comments

Woher kommen die 1/2?

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Mittelwert der ersten und letzten zu addierenden Zahl

1/2 * (erste_Zahl + letzte_Zahl)

Das hatte @Roland dir bereits auch aufgeschrieben.

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Kennst du die Gauss Anekdote?

Zusammenzählen der Zahlen von 1 - 100?

= 50 * 101

Answer 2

Hallo,

falls du nicht auf den trickreichen Weg der anderen Antworten kommst:

\(\sum\limits_{k=1}^{m}k=\dfrac{m(m+1)}{2}         \)

\(S_1=\sum\limits_{i=1}^{n^2+n}i=\dfrac{(n^2+n)(n^2+n+1)}{2} \)

\(S_2=\sum\limits_{i=1}^{n^2-1}i=\dfrac{(n^2-1)n^2}{2} \)

\( \sum \limits_{i=n^{2}}^{n^2+n}i\\ = S_1-S_2\\=\dfrac{(n^2+n)(n^2+n+1)-(n^2-1)n^2}{2} \\=\dfrac{n(n+1)(n^2+n+1)-n(n+1)(n-1)n}{2} \\=\dfrac{n(n+1)(n^2+n+1-n^2+n)}{2} \\=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{2} \)

Answer 3

Die Anzahl der Glieder der Summe ist n+1. Die Summe errechnet sich als \( \frac{(\text{erstes Glied+letztes Glied})·(n+1)}{2} \).

Answer 4

Hallo :-)

Eine weitere Möglichkeit ist eine Indexverschiebung vorzunehmen:

$$ \sum_{k=n^2}^{n^2+n} k=\sum_{k=0}^{n} (k+n^2)=\left(\sum_{k=0}^{n} k\right)+\left(\sum_{k=0}^{n} n^2\right)\stackrel{\text{Gaußformel}}{=}\frac{n\cdot (n+1)}{2}+\left(\sum_{k=0}^{n} n^2\right)\\=\frac{n\cdot (n+1)}{2}+n^2\cdot \left(\sum_{k=0}^{n} 1\right)=\frac{n\cdot (n+1)}{2}+n^2\cdot (n+1)=\frac{n\cdot (n+1)+2\cdot n^2\cdot (n+1)}{2}\\=\frac{n\cdot ((n+1)+2\cdot n\cdot (n+1))}{2}=\frac{n\cdot ((n+1)\cdot (1+2\cdot n))}{2}=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2\cdot n+1)}{2} $$

Comments

Jetzt habe ich es richtig verstanden.