Das Tor und der Scheinwerfer - drei Punkte, in denen eine Gerade senkrecht auf Funktionsgraphen trifft

Question

Aufgabe:

Die Funktion f mit f(x)= -0.5(e^x + e^-x )+6 stellt ein Tor da. Ein bewegbarerer Scheinwerfer befindet sich im Koordinatenursprung. Der Scheinwerfer beleuchtet das Tor vor innen. Bestimmen Sie drei Punkte, in denen der Scheinwerfer senkrecht auf das Tor trifft.

Problem/Ansatz:

Also ein Punkt ist ja schonmal das Maximum von f, da dort eine waagerechte Tangente ist, die die Gerade x=0 senkrecht schneidet. Bei den anderen beiden Punkten weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll. Ich hatte als Ansatz m₁ * m₂ = -1, aber ich weiß ja gar nicht die Gerade des Scheinwerfers. Zumal der Scheinwerfer ja nicht durch eine Gerade dargestellt wird sondern durch eine Geradenschar. Ansonsten vielleicht durch Aufstellen einer Normalen??

Comments

aber ich weiß ja gar nicht die Gerade des Scheinwerfers.

Ich habe sie unten in meiner Lösung hingeschrieben. Sie geht durch einen Punkt (Ursprung) und hat eine Steigung (bei den gesuchten Lösungen ist das der negative Kehrwert der Steigung des Torbogens).

Answer 1

f(x) = - 0.5·(e^x + e^(-x)) + 6
f'(x) = - 0.5·(e^x - e^(-x))

Bedingung

Die Steigung zwischen Ursprung und einem Punkt des Tores muss der Normalensteigung im Punkt des Tores entsprechen.

(f(x) - 0) / (x - 0) = -1/f'(x) → e^(3·x) - 12·e^(2·x) + 4·x·e^x - e^(-x) + 12 = 0 → x = 0 oder x ≈ ± 2.401

Die Lösung x = 0 sollte ja eh klar sein. Die andere Lösung bekommt man leider nur numerisch.

Y-Koordinaten lasse ich dir um sie zu berechnen.

Comments

Kann es sein das du in eine Klasse gehst die ein CAS benutzen dürfen?

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Dankeschön. Nein, das ist eine alte Abituraufgabe aus dem GTR-Teil.

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Ok. Der GTR bestimmt ja die Nullstellen und zeigt sie an. Dann sollte das kein Problem sein.

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Wenn der Scheinwerfer um 4,5 nach oben verschoben wird, muss man doch genau das Gleiche machen aber die Steigung der Geraden so: (f(x) - 4.5) / (x - 0) darstellen oder?

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Wenn der Scheinwerfer um 4,5 nach oben verschoben wird, muss man doch genau das Gleiche machen aber die Steigung der Geraden so: (f(x) - 4.5) / (x - 0) darstellen oder?

Richtig.

Answer 2

"Die Funktion f mit \(f(x)= -0,5*( e^{x}  + e^{-x} )+6\) stellt ein Tor da. Ein bewegbarerer Scheinwerfer befindet sich im Koordinatenursprung. Der Scheinwerfer beleuchtet das Tor vor innen. Bestimmen Sie drei Punkte, in denen der Scheinwerfer senkrecht auf das Tor trifft."

Scheinwerfergerade:

\(y=m*x\)

\(f´(x)= -0,5*( e^{x}  - e^{-x} )=-0,5* e^{x}  +0,5* e^{-x} \)

\(y=m*x\)

Nun ist  \(m=- \frac{1}{-0,5* e^{x}  +0,5* e^{-x}}=\frac{1}{0,5* e^{x}  -0,5* e^{-x}} \)

Normalengleichung:

\(y=\frac{x}{0,5* e^{x}  -0,5* e^{-x}}=\frac{2x}{ e^{x}  - e^{-x}}\)

Schnitt mit Torbogen:

\( -0,5*( e^{x}  + e^{-x} )+6=\frac{2x}{ e^{x}  - e^{-x}}\)

Nun nach x auflösen

Answer 3

Die beiden anderen Stellen sind bei x ≈ ± 2,4

Löse die Gleichung

\(\displaystyle \underbrace{\frac{\partial}{\partial x} \left(-0,5\left(e^{x}+e^{-x}\right)+6\right)}_{\text{Steigung des Torbogens}} \quad =\quad \underbrace{-\frac{x}{-0,5\left(e^{x}+e^{-x}\right)+6} }_{\large \text{negativer Kehrwert der}\atop\text{ Geraden vom Ursprung}}\)

Sie hat genau drei Lösungen.