Fläche A eines Dreiecks soll maximal sein: f(x)=(x+1)*e^{-x} Die Ableitung ist: f'(x)= -x*e^{-x}

Question

Gegeben ist die Funktion: f(x)=(x+1)*e^{-x} Die Ableitung ist: f'(x)= -x*e^{-x} Diese beiden Funktionen haben einen Schnittpunkt S bei -0.5. Jetzt gilt es eine Gerade die parallel zur Y-Achse verlaufen soll und größer als 0 ist, welche die beiden Funktionen schneidet und dabei mit diesen neuen Schnittpunkten und dem Schnittpunkt von f und f' das größt mögliche Dreieck erstellt. Wo muss diese Gerade liegen? Meine Überlegung war, dass es vielleicht keine weiteren Schnittpunkte von f und f' gibt und somit die x=unendlich für die Gerade ist. Um das zu prüfen hab ich die Funktionen gleichgesetzt, erhalte dann aber x= (-x)/(e^-x) womit ich nichts anfangen kann..

Comments

Die einzige Schnittstelle von f und f' liegt bei x_s=-0,5.

Bestimme die gesuchte Stelle a, indem du 2·A_Δ=(f(a)-f'(a))·(a-x_s) maximierst.                                                                                

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durch Auflösen von f(x_s)=f'(x_s) nach x_s                                                                                                     

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Bei mir kommt aber nicht -0.5 raus sondern das was oben steht. ich wäre dir sehr dankbar wenn du mir zeigst wie man korrekt nach xs auflöst und -0.5 erhält.

Answer 1

Gleichsetzen. Mit e^x_s multiplizieren. x_s  subtrahieren. Durch (-2) dividieren.

Comments

Du meinst dividieren. Hab nen total dummen fehler gemacht.. Danke bin jetzt auch bei -0.5

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hab ich doch geschrieben

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nee da steht bei dir multiplizieren :D

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dann meinte ich sicherlich auch   "multiplizieren"

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ohh verzeihung. ich möchte deine methoden zum auflösen natürlich nicht in frage stellen. bei mir gings jetzt jedenfalls mit dividieren von e^-x ganz einfach

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das liegt daran, dass Multiplizieren mit e^x und Dividieren durch e^-x dasselbe ist.

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Ach so, wieder was gelernt, noch mal sorry :) Jetzt hätte ich noch eine Frage. Wie kommt die Formel 2·AΔ=(f(a)-f'(a))·(a-xs) zustande?

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Dreiecksfläche = (Grundseite × Höhe) / 2

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und warum ist die Höhe a-xs? ok bin selbst drauf gekommen.

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gelernt oder zur Kenntnis genommen ?


Beachte Folgendes : e^-x = 1/e^x

Wenn du die Gleichung   x/6 = 7/6  nach x auflösen sollst, kannst du entweder mit 6 multiplizieren (das habe ich gemacht) oder durch 1/6 dividieren (das hast du gemacht).

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Aufjeden Fall gelernt. Kannst du mir noch die Ableitung nennen? Ich komme nicht drauf...

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A' wird mit der Produktregel gebildet.

Man erhält  A'(a) = ( 0,5·(2a+1)·e^-a·(a+0,5) )' = ( 0,5·(2a²+2a+0,5)·e^-a )' = ... = -(a²-a-0,75)·e^-a