Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person höchstens 12 Stunden schläft?

Question

Aufgabe: Die Anzahl an geschlafenen Stunden einer Person sei normalverteilt mit einem Erwartungswert von 10 Stunden und einer Standardabweichung von 2 Stunden.

1. Wie gr0ß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person höchstens 12 Stunden schläft?

2. Wie viele Stunden Schlaf werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% nicht überschritten?

3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwischen 9 und 11 Stunden zu schlafen?

Problem/Ansatz:

zu 1. $$P(X \leq 12)= phi(12-10/2)=phi(1)=0.8413$$

zu 2. Muss ich hier mit der Z-Tabelle arbeiten? Wie lautet die Rechnung?

zu 3. $$P(9 \leq X \leq 11) = phi(X \leq 11) - P(X \geq 9)$$

= $$phi(X \leq 11) - 1-P(X <9)$$

Answer 1

Die Anzahl an geschlafenen Stunden einer Person sei normalverteilt mit einem Erwartungswert von 10 Stunden und einer Standardabweichung von 2 Stunden.

1. Wie gr0ß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person höchstens 12 Stunden schläft?

P(X ≤ 12) = Φ((12 - 10)/2) = Φ(1) = 0.8413

2. Wie viele Stunden Schlaf werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% nicht überschritten?

P(X ≤ k) = Φ((k - 10)/2) = 0.9
(k - 10)/2 = Φ^{-1}(0.9)
(k - 10)/2 = 1.282
k - 10 = 2·1.282
k = 10 + 2·1.282 = 12.56

3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwischen 9 und 11 Stunden zu schlafen?

P(9 ≤ X ≤ 11) = Φ((11 - 10)/2) - Φ((9 - 10)/2) = 0.3829

Comments

phi^(-1)(0.9)= 1.282

Wo finde ich diesen wert?

Ich habe die z-Tabelle von wikipedia aber da sind nur Wahrscheinlichkeiten kleiner 1 drin

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Du suchst eine Wahrscheinlichkeit von ca. 90% und liest am Rand den z-Wert ab.

Je nach Unterricht nimmt man den Wert der am nächsten an 90% dran liegt, man bemüht den Taschenrechner einen etwas genaueren wert auszugeben oder man interpoliert die Funktion zwischen den nächsten beiden Punkten durch eine Gerade. Letzteres mussten wir damals in der Schule machen. Heute wär dazu vermutlich kaum noch ein Schüler in der Lage.

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Das verstehe ich nicht wie du da mit den zwei Werten auf 1.282 gekommen bist

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Du kannst auch mit 1.28 den Wert nehmen der am dichtesten an 0.9 dran ist. Wie gesagt erlaubt dir ein Taschenrechner auch etwas genauere Werte als eine Tabelle zu bekommen.