Indirekter Beweis von Null verschiedene Zahlen

Question

Aufgabe: Formulieren Sie die folgende Aussage als für-alle-Aussage und beweisen Sie sie indirekt: Es gibt keine von Null verschiedene ganze Zahlen a und b so dass gilt

$$\frac{1}{a+b}= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$

Problem/Ansatz:

Also ich verstehe die Aufgabenstellung schonmal nicht, weil 0 kommt doch gar nicht in Frage, da man nicht durch 0 teilen darf.

Dann hätte ich folgenden Ansatz

Erstmal auf gemeinsamen Hauptnenner bringen

$$\frac{b(a+b)}{a*b*(a+b)} + \frac{a(a+b)}{a*b*(a+b)}= \frac{ab}{a*b*(a+b)}$$

Nenner weglassen führt zu

$$b(a+b)+ a(a+b)= ab$$

Weiter komme ich nicht

Answer 1

Nenner weglassen führt zu

$$b(a+b)+ a(a+b)= ab$$

also

$$ba+b^2 + a^2 +ab= ab$$

$$b^2 + a^2 +ab= 0$$

$$ (a+b)^2 = ab$$

Wenn es solche Zahlen gäbe, und sie wären

beide ungerade, dann wäre ihre Summe gerade,

das Quadrat der Summe auch, aber das Produkt

ungerade. Kann also nicht sein.

Eine gerade und eine ungerade kann auch nicht sein;

denn dann wäre das Produkt gerade aber das Quadrat

ungerade. Bleibt also nur:

Beide sind gerade. Dann gibt es x, y mit a=2x und b=2y

$$ (2x+2y)^2 = 4xy$$

==>   $$ 4x^2+8xy+4y^2  = 4xy$$  durch 4 gibt

$$ x^2+2xy+y^2  = xy$$

also auch $$ (x+y)^2 = xy$$

Somit gilt die gegebene Gleichung auch für

jeweils die Hälfte von a und b. Und davon wieder

je die Hälfte etc. Bei ganzen Zahlen ungleich 0 kann man aber

nicht beliebig oft halbieren. Also gibt es solche Zahlen

nicht.

Comments

wow matheef, das sieht gut aus wie du das gemacht hast, darauf muss man mal kommen. Vielen lieben Dank

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\(b(a+b)+ a(a+b)= ab\)

führt einerseits zu (a+b)^2 = ab , also ab ≥ 0
und andererseits wegen a^2+2ab+b^2 = ab zu a^2+b^2 = -ab , also ab ≤ 0
im Widerspruch zur Voraussetzung.

Answer 2

\(b(a+b)+ a(a+b)= ab\)

ich komme noch ein bisschen weiter:

ab=(b+a)(a+b)

ab=(a+b)²

ab=a²+2ab+b²

0=a²+ab+b²

Angenommen a sei reell. Dann ist b komplex und es gibt keine von Null verschiedenen ganze Zahlen a und b sodass meine oberste Zeile gilt.

Answer 3

Angenommen, für \(a,b,a+b\neq 0\) wäre

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}=0\). Dann folgte

\(\frac{a+b}{a}+\frac{a+b}{b}-1=0\), also \(1+b/a+a/b=0\).

Setzt man \(c:=b/a\), liefert dies \(1+c+c^{-1}=0\).

Multiplikation mit \(c: \quad c^2+c+1=0\).

Für reelles \(c\) ist dies nicht möglich.

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