Indirekter Beweis, Zeigen Sie, dass a ist gerade oder b ist gerade.

Question

Aufgabe:

Seien a, b, c ∈ Z und gelte a²+ b² = c² .

Zeigen Sie: a ist gerade oder b ist gerade.

Problem/Ansatz:

ich bin mit dem Indirekten Beweis noch nicht vertraut,

daher wüsche ich mir eine ausführliche Erklärung.

Danke im Voraus

Answer 1

Nehmen wir an, es wäre \(a^2+b^2=c^2\) mit ganzen Zahlen \(a,b,c\)

und \(a\) und \(b\) wären beide ungerade, d.h. wir hätten

\(a=2m+1\) und \(b=2n+1\) mit ganzen \(m,n\), dann ergäbe sixh

\(c^2=(2m+1)^2+(2n+1)^2=4(m^2+m+n^2+n)+2\).

\(c^2\) wäre also gerade und damit wäre auch \(c\) gerade,

hätte also die Form \(c=2d\Rightarrow c^2=4d^2\).

Damit ergibt sich \(2=4d^2-4(m^2+m+n^2+n)=4(d^2-m^2-m-n^2-n)\),

\(4\) wäre also ein Teiler von \(2\), Widerspruch !