Indirekter Beweis Teilbarkeit

Question

Hi,

ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

1. Ist das Quadrat einer nat. Zahl durch 5 teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch 5 teilbar.

Das logische Gegenteil wäre: (Mit !| meine ich das negierte |)

5 !| x²  →  5 !| x

Für 5 !| x gibt es folgende Möglichkeiten:

5a-1 ; 5a-2 ; 5a-3 ; 5a-4   mit a∈ℕ

Wie kann ich das nun in der Behauptung verwenden?

Answer 1

Ist das Quadrat einer nat. Zahl durch 5 teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch 5 teilbar.

5 | x² ==>  Es gibt n∈ℕ mit 5*n = x*x  . Also enthält mindestens einer der Faktoren von x*x den

Primfaktor 5 (In wirklichkeit sogar beide.)

Und wenn x den Primfaktor 5 enthält, dann ist x durch 5 teilbar.

Indirekt ginge es wohl so:

Angenommen, es ist x nicht durch 5 teilbar, dann enthält x nicht den

Primfaktor 5, also auch x*x nicht. Widerspruch zu 5 | x²  .