Hallo SoUndead! :-)
Zu beweisen ist die Aussage, dass für alle \( p, q, \varepsilon \in \mathbb{R} \) gilt: \( 2p q \le \frac{p^2}{\varepsilon} +\varepsilon q^2\).
a) Direkter Beweis. Start: Für alle \( p, q, \varepsilon \in \mathbb{R} \) gilt \( (p - \varepsilon q)^2 \ge 0\)
\( (p - \varepsilon q)^2 \ge 0\) \( \bigg \vert \) 2. binomische Formel anwenden
\( p^2 - 2p \varepsilon q + \varepsilon^2 q^2 \ge 0 \) \( \bigg \vert -p^2 -\varepsilon^2 q^2 \)
\( - 2p \varepsilon q \ge -p^2 -\varepsilon^2 q^2\) \( \bigg \vert \cdot (-1) \)
\( 2p \varepsilon q \le p^2 +\varepsilon^2 q^2\) \( \bigg \vert : \varepsilon \) Wegen \( \varepsilon > 0 \) ändert sich das Kleiner-Gleich-Zeichen nicht.
\( 2p q \le \frac{p^2}{\varepsilon} +\varepsilon q^2\)
Damit ist die Aussage bewiesen.
b) Indirekter Beweis. Jetzt nehmen wir an, dass \( 2p q \le \frac{p^2}{\varepsilon} +\varepsilon q^2\) falsch ist, dass also \( 2p q > \frac{p^2}{\varepsilon} +\varepsilon q^2\) gilt und führen die Behauptung zu einem Widerspruch.
Annahme: \( 2p q > \frac{p^2}{\varepsilon} +\varepsilon q^2\)
\( 2pq > \frac{p^2}{\varepsilon} +\varepsilon q^2\) \( \bigg \vert - \frac{p^2}{\varepsilon} - \varepsilon q^2 \)
\( 2pq - \frac{p^2}{\varepsilon} - \varepsilon q^2 > 0\) \( \bigg \vert \cdot (-1) \)
\( -2pq + \frac{p^2}{\varepsilon} + \varepsilon q^2 < 0\) \( \bigg \vert \cdot \varepsilon \)
\( -2pq \varepsilon + p^2 + \varepsilon^2 q^2 < 0\) \( \bigg \vert \) Zum Quadrat eines Binoms zusammenfassen.
\( (p - \varepsilon q)^2 < 0 \)
Das kann aber nicht sein, denn es ist \( x = p - \varepsilon q, \ x \in \mathbb{R}\) und für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt \( x^2 \ge 0 \), also muss \( (p - \varepsilon q)^2 \ge 0 \) gelten. Unsere Annahme, dass \( 2p q > \frac{p^2}{\varepsilon} +\varepsilon q^2\) gilt, führt zu einem Widerspruch und dieser Widerspruch zeigt uns, dass \( 2p q \le \frac{p^2}{\varepsilon} +\varepsilon q^2\) für alle \( p, q, \varepsilon \in \mathbb{R} \) gelten muss.
Beste Grüße
gorgar
