Um zu zeigen, dass die Folge konvergiert und ihren Grenzwert zu bestimmen, können wir das Prinzip der vollständigen Induktion verwenden. Zunächst zeigen wir, dass die Folge nach oben durch 4 und nach unten durch 2 beschränkt ist, d.h. 2 ≤ a_n ≤ 4 für alle n ∈ ℕ.
Induktionsanfang: a_1 = 3 liegt in dem Intervall [2, 4], also gilt die Behauptung für n=1.
Induktionsschritt: Angenommen, die Behauptung gilt für ein beliebiges n. Wir zeigen, dass sie auch für n+1 gilt:
Da a_n in dem Intervall [2, 4] liegt, erhalten wir durch Anwendung der Rekursionsvorschrift:
a_{n+1} = 4 - 4/a_n
Da 2 ≤ a_n ≤ 4 gilt, folgt daraus
0 < 4/a_n ≤ 2
Somit erhalten wir
2 ≤ 4 - 4/a_n ≤ 4
Daraus folgt:
2 ≤ a_{n+1} ≤ 4
Somit haben wir die Behauptung für n+1 gezeigt, und die vollständige Induktion ist somit abgeschlossen.
Da die Folge a_n nach oben durch 4 und nach unten durch 2 beschränkt ist, folgt aus dem Monotoniekriterium, dass sie konvergent ist. Sei a der Grenzwert der Folge. Wenn n gegen Unendlich geht, dann geht auch n+1 gegen Unendlich, und somit erhalten wir:
a = 4 - 4/a
Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir nach a auflösen können:
a^2 - 4a + 4 = 0
Die Lösungen dieser Gleichung sind a = 2 und a = 2. Da die Folge nach oben durch 4 und nach unten durch 2 beschränkt ist, kann der Grenzwert nur 2 sein.
Daher konvergiert die Folge (an) gegen 2, wobei an rekursiv definiert ist als a1=3 und an+1=4-4/an für alle n∈N."
