Folge Funktion Grenzwert

Question

Die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ sei rekursiv definiert durch

$a_{1}=3, \quad a_{n+1}=4-\frac{4}{a_{n}} \quad(n \in \mathbb{N})$

(iii) Folgern Sie, dass die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbf{N}}$ konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Problem/Ansatz:

Kann mir einer mit der Nummer iii helfen ? Soll ich da für 4 - 4/an 3 einsetzten oder wie soll ich den Grenzwert herausfinden ? Und konvergiert die Folge wenn es richtung null geht oder größer wird ?

Answer 1

Hallo

wenn du vorher gezeigt hast dass die Folge monoton fällt und nach unten begrenzt ist kannst du folgern dass sie konvergiert, dann geht a_n und a_n+1 gegen den Grenzwert g und es gilt g=4-4/g, daraus bestimmt man g

Gruß lul

Comments

Hallo ja also ich habe bestimmt dass die Folge monoton fällt und nach unten begrenzt ist aber irgendwie verstehe ich immer noch nicht nicht wie ich den Grenzwert bestimmen soll:/

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Also was soll ich für g einsetzten ?

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Hallo

du sollst aus der Gleichung für g g bestimmen. Aber genau das hatte ich doch gesagt? wie liest du posts?

lul

Answer 2

Um zu zeigen, dass die Folge konvergiert und ihren Grenzwert zu bestimmen, können wir das Prinzip der vollständigen Induktion verwenden. Zunächst zeigen wir, dass die Folge nach oben durch 4 und nach unten durch 2 beschränkt ist, d.h. 2 ≤ a_n ≤ 4 für alle n ∈ ℕ.

Induktionsanfang: a_1 = 3 liegt in dem Intervall [2, 4], also gilt die Behauptung für n=1.

Induktionsschritt: Angenommen, die Behauptung gilt für ein beliebiges n. Wir zeigen, dass sie auch für n+1 gilt:

Da a_n in dem Intervall [2, 4] liegt, erhalten wir durch Anwendung der Rekursionsvorschrift:

a_n+1 = 4 - 4/a_n

Da 2 ≤ a_n ≤ 4 gilt, folgt daraus

0 < 4/a_n ≤ 2

Somit erhalten wir

2 ≤ 4 - 4/a_n ≤ 4

Daraus folgt:

2 ≤ a_n+1 ≤ 4

Somit haben wir die Behauptung für n+1 gezeigt, und die vollständige Induktion ist somit abgeschlossen.

Da die Folge a_n nach oben durch 4 und nach unten durch 2 beschränkt ist, folgt aus dem Monotoniekriterium, dass sie konvergent ist. Sei a der Grenzwert der Folge. Wenn n gegen Unendlich geht, dann geht auch n+1 gegen Unendlich, und somit erhalten wir:

a = 4 - 4/a

Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir nach a auflösen können:

a² - 4a + 4 = 0

Die Lösungen dieser Gleichung sind a = 2 und a = 2. Da die Folge nach oben durch 4 und nach unten durch 2 beschränkt ist, kann der Grenzwert nur 2 sein.

Daher konvergiert die Folge (an) gegen 2, wobei an rekursiv definiert ist als a1=3 und an+1=4-4/an für alle n∈N."

Comments

Da die Folge a_n nach oben durch 4 und nach unten durch 2 beschränkt ist, folgt aus dem Monotoniekriterium, dass sie konvergent ist.

Da die Folge nach oben durch 4 und nach unten durch 2 beschränkt ist, kann der Grenzwert nur 2 sein.

Warum das?

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Hast Chat GPT die Antwort geschrieben.

Einige Schritte und Formulierungen erscheinen mir etwas seltsam.