Zeigen Sie mit Hilfe eines Induktionsbeweises, dass für alle n Ungleichung gilt:

Question

Guten Tag, ich sitze gerade an einer Aufgabe bei der man einen Induktionsbeweis benutzen muss. Ich habe hierbei leider Probleme bei dem korrekten Aufschrieben der einzelnen Induktionsschritten um bitte daher um Hilfe.

Viele Grüße

Tom

Text erkannt:

Aufgabe 3
Gegeben sei die Folge \( \left(x_{n}\right) \) mit Hilfe der rekursiven Definition.
\( x_{1}=1, \quad x_{n+1}=x_{n}+1+\frac{1}{x_{n}^{2}+x_{n}} \quad \text { für alle } n \geq 1 \)
a) Zeigen Sie mit Hilfe eines Induktionsbeweises, dass für alle \( n \in \mathbb{N}= \) \( \{1,2,3, \ldots\} \) die folgende Ungleichung gilt:
\( x_{n} \geq n \)

Answer 1

Aloha :)

Die Induktionsverankerung bei \(n=1\) ist klar, denn es ist:$$x_1=1\implies x_n\ge n\;\;\text{für }n=1\quad\checkmark$$

Im Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\) können wir nun \(x_n\ge n\) voraussetzen:$$x_{n+1}=x_n+1+\frac{1}{x_n^2+x_n}\stackrel{(x_n\ge n>0)}{>}x_n+1\stackrel{(x_n\ge n)}{\ge}n+1\implies x_{n+1}\ge n+1$$

Daher gilt\(\quad x_n\ge n\quad\text{für alle }n\in\mathbb N\)