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Berechnen Sie ein Ausgleichspolynom p zweiten Grades zu den vier Punkten (-1; 1), (0; -2), (1; 1) und (2; 4) unter der zusätzlichen Bedingung, dass das Ausgleichspolynom p aus dem Sachzusammenhang heraus achsensymmetrisch zur y-Achse sein muss.

D. h., bestimmen Sie eine achsensymmetrische Funktion der Form p(r) = ax^2 +bx + c, so dass die Summe der Quadrate der Abstände der gegebenen Punkte (in y-Richtung) zu p minimal ist.


Das Ausgleichspolynom wird beschrieben durch p(x) = ? x^2 + ? x + ?.


Was kommt in die ? rein?


Meine Lösung:

4/3x^2+0x+0


Meine Lösung ist allerdings falsch, was wäre die richtige Lösung?

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Vom Duplikat:

Titel: Ausgleichspolynom p zweiten Grades zu vier Punkten berechnen?

Stichworte: polynom

Aufgabe:

Berechnen Sie ein Ausgleichspolynom p zweiten Grades zu den vier Punkten (-1; 1), (0; -2), (1; 1) und (2; 4) unter der zusätzlichen Bedingung, dass das Ausgleichspolynom p aus dem Sachzusammenhang heraus achsensymmetrisch zur y-Achse sein muss.

D. h., bestimmen Sie eine achsensymmetrische Funktion der Form p(r) = ax2 +bx + c, so dass die Summe der Quadrate der Abstände der gegebenen Punkte (in y-Richtung) zu p minimal ist.


Das Ausgleichspolynom wird beschrieben durch p(x) = ? x2 + ? x + ?.


Was kommt da rein?

4 Antworten

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Beste Antwort

Über Geogebra bekommst du schnell eine Vergleichslösung

blob.png

Avatar von 487 k 🚀

Sollte das Polynom nicht symmetrisch zur y Achse sein?

Das wäre so, wenn die Punkte auch symmetrisch wären. aber dazu fehlt der Punkt (-2 | 4).

Ist tatsächlich nicht richtig.

Ich habe zwar andere Werte: (-1; 4), (0; 0), (1; 3) und (2; 5) und habe das bei Geogebra selbst eingetragen, allerdings ist die Lösung falsch. Von diesen Werten habe ich die Musterlösung leider nicht, aber von den Werten, die ich ganz oben in die Frage geschrieben habe, habe ich die Musterlösung schon.


Die Musterlösung von den Werten (zu den du auch das Abbild hochgeladen hast) lautet:

4/3 x^2 + 0x +-1

Es ist in der Aufgabenstellung ausdrücklich ein achsensymmetrisches Ausgleuchsproblem verlangt.

Achso. Es steht in der Aufgabe drin das das Polynom achsensymmetrisch sein soll.

Dann ist p(r) = ax2 +bx + c allerdings irreführend, weil dies kein achsensymmetrischer Ansatz ist.

Wenn es achsensymmetrisch sein soll ist das aber auch nicht weiter schwer.

blob.png

Ich glaube dennoch, dass das immer noch falsch ist.

Ich komme (bei meinen Werten) auf 1.5x^(2) - 0.9x + 1.2 und das ist offensichtlich falsch.


Die Lösung vom zweiten Bild entspricht leider auch nicht der Mustlerlösung

f(x) = 4/3 x^2 - 1 sollte richtig sein.

Achtung Geogebra rundet seine Ausgabe.

4/3 x2 - 1 ist auch richtig.

Die Frage ist nun, wie die Funktion für meine Werte lautet: (-1; 4), (0; 0), (1; 3) und (2; 5)


Geogebra gibt mir 1.5x^(2) - 0.9x + 1.2 aus. Das ist doch aber nicht gerundet

Ok, ich habe es doch geschafft.

Die Lösung lautet: x^2+1,5


Danke nochmals für die Hilfe!

Dann sind vermutlich die Punkte falsch oder die Musterlösung.

Eigentlich erkennt ein Blinder, dass die rote Funktion jeden einzelnen Punkt schlechter nähert als die blaue Funktion.

~plot~ 4/3*x^2-1;x^2+1.5;{-1|1};{0|-2};{1|1};{2|4};[[-6|6|-3|10]] ~plot~

Dann sind vermutlich die Punkte falsch oder die Musterlösung.

mit dem neuen Satz von Punkte ...

melihtozlu schrieb:
Die Frage ist nun, wie die Funktion für meine Werte lautet: (-1; 4), (0; 0), (1; 3) und (2; 5)

... passt dann auch die Musterlösung:


Die Lösung lautet: x^2+1,5
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Hallo

Quadratisch und symmetrisch heisst y=f(x)=ax^2+b

jetzt schreib die y-Werte  minus der entsprechenden f(x) Werte hin quadriere sie und bestimm das Min,

1. Punkt (1-a*1-b)^2 usw.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀
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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wegen der geforderten Achsensymmetrie des Ausgleichspolynoms 2-ten Grades, darf dieses nur gerade Exponenten haben. Wir wählen daher als Ansatz:$$f(x)=ax^2+b$$

Wenn wir die vier Punkte einsetzen:$$\phantom+1=f(-1)=a+b$$$$-2=f(0)=b$$$$\phantom+1=f(1)=a+b$$$$\phantom+2=f(2)=4a+b$$

erhalten wir ein überbestimmtes Gleichungssystem:$$\begin{array}{rr|r}a & b & =\\\hline1 & 1 & 1\\0 & 1 & -2\\1 & 1 & 1\\4 & 1 & 2\end{array}\quad\text{bzw.}\quad\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\0 & 1\\1 & 1\\4 & 1\end{array}\right)\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{r}1\\-2\\1\\2\end{array}\right)$$

Wir werden hier keine Lösung finden, die alle Gleichungen erfüllt. Durch Linksmultiplikation mit der transponierten Koeffizientenmatrix erhalten wir jedoch ein lösbares Gleichungssystem, das im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate das optimale Ausgleichspolynom liefert:

$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 1 & 4\\1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\0 & 1\\1 & 1\\4 & 1\end{array}\right)\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 1 & 4\\1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1\\-2\\1\\2\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{rr}18 & 6\\6 & 4 \end{array}\right)\binom{a}{b}=\binom{10}{2}$$$$\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{rr}18 & 6\\6 & 4 \end{array}\right)^{-1}\binom{10}{2}=\binom{\frac79}{-\frac23}$$

Das gesuchte Ausgleichspolynom lautet also:\(\quad\pink{f(x)=\frac79x^2-\frac23}\)

~plot~ {-1|1} ; {0|-2} ; {1|1} ; {2|2} ; 7/9*x^2-2/3 ; [[-3|3|-3|6]] ~plot~

Avatar von 152 k 🚀

Ah habe die falsche werte drinne ;(

(-1;1), (0; -1), (1;0) und (2;2)

könntest du es vielleicht hier mit machen??

Da hast du aber Glück gehabt, dass ich das Excel-Sheet noch offen hatte.

Ich habe meine Antwort angepasst.

Vielen dank aber die antwort wird nicht als richtig angesehen, Warum das?

Auf wie viele Stellen sollst du denn die Werte runden?

Und hast du die Null für den fehlenden \(x\)-Term beachtet?

Lösung: \((0,7777\ldots\;|\;0\;|\;-0,6666\ldots)\)

Wird hier nicht angegeben, aber die lösung ist zu 100% richtig?

Hast du die Null mit angegeben?

Ja, habe es mit nullen eingegeben und als bruch, nur die 0 wird als richtig gesehen

Ach, ich habs...

Ich hatte nur einen Punkt geändert, du hattest dich aber in mehr als einen Punkt vertan.

Ich habe nun alle geänderten Punkte in Excel eingegeben und komme auf:$$f(x)=\frac23\cdot x^2+0\cdot x-\frac12$$

Yesss, es funktioniert vielen vielen dank !!!

Das haben wir beide verpeilt.

Du bei der Angabe der Punkte und ich bei der Übernahme der geänderten Punkte.

Aber jetzt passt ja alles ;)

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