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Wegen der geforderten Achsensymmetrie des Ausgleichspolynoms 2-ten Grades, darf dieses nur gerade Exponenten haben. Wir wählen daher als Ansatz:$$f(x)=ax^2+b$$
Wenn wir die vier Punkte einsetzen:$$\phantom+1=f(-1)=a+b$$$$-2=f(0)=b$$$$\phantom+1=f(1)=a+b$$$$\phantom+2=f(2)=4a+b$$
erhalten wir ein überbestimmtes Gleichungssystem:$$\begin{array}{rr|r}a & b & =\\\hline1 & 1 & 1\\0 & 1 & -2\\1 & 1 & 1\\4 & 1 & 2\end{array}\quad\text{bzw.}\quad\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\0 & 1\\1 & 1\\4 & 1\end{array}\right)\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{r}1\\-2\\1\\2\end{array}\right)$$
Wir werden hier keine Lösung finden, die alle Gleichungen erfüllt. Durch Linksmultiplikation mit der transponierten Koeffizientenmatrix erhalten wir jedoch ein lösbares Gleichungssystem, das im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate das optimale Ausgleichspolynom liefert:
$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 1 & 4\\1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\0 & 1\\1 & 1\\4 & 1\end{array}\right)\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 1 & 4\\1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1\\-2\\1\\2\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{rr}18 & 6\\6 & 4 \end{array}\right)\binom{a}{b}=\binom{10}{2}$$$$\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{rr}18 & 6\\6 & 4 \end{array}\right)^{-1}\binom{10}{2}=\binom{\frac79}{-\frac23}$$
Das gesuchte Ausgleichspolynom lautet also:\(\quad\pink{f(x)=\frac79x^2-\frac23}\)
~plot~ {-1|1} ; {0|-2} ; {1|1} ; {2|2} ; 7/9*x^2-2/3 ; [[-3|3|-3|6]] ~plot~
