Bestimmen ein Ausgleichspolynom und löse das lineare Ausgleichproblem

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie ein Ausgleichspolynom \( p(t)=a_{1}+a_{2} t+a_{3} t^{2} \) vom Grad 2 durch die Punkte
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\( t_{i} \) & \( -2 \) & \( -1 \) & 0 & 1 & 2 \\
\hline\( y_{i} \) & \( -5 \) & \( -2 \) & 0 & 1 & 5
\end{tabular} \mid,
sodass \( \sum \limits_{i=1}^{6}\left(p\left(t_{i}\right)-y_{i}\right)^{2} \) minimal ist:
(a) Bestimmen Sie eine Matrix \( A \) und einen Vektor \( \vec{b} \), sodass das Problem äquivalent zum linearen Ausgleichsproblem \( \min \|A \vec{x}-\vec{b}\|_{2} \) ist (vgl. Def. 23.1).
(b) Lösen Sie das lineare Ausgleichsproblem, indem Sie die Normalengleichung lösen.

Problem/Ansatz:

Autgabe?
\( \sum \limits_{i=1}^{6}\left(a_{n}+a_{2} t_{1}+a_{3} t_{1}^{2}-y_{i}\right)^{2} \)
\( \begin{array}{l} \vec{x}\left(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}\right) \quad A=\left(\begin{array}{ll} 1 & T_{1} \\ 1 & T_{2} \\ 1 & T_{3} \\ 1 & T_{4} \\ 1 & T_{5} \end{array}\right) \\ \vec{b} \cdot\left(\begin{array}{c} -5 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 5 \end{array}\right) \quad A=\left(\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 1 & 2 \end{array}\right) \end{array} \)
(ii) Normalglechung \( : A^{\top} A \vec{x}=A^{\top} \vec{b} \)
\( A^{\top} A\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & -2 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 5 & 0 \\ 0 & 10 \end{array}\right) \quad A^{\top} b=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} - 5 \\ -2 \\ 1  \\ 0 \\ 5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 23 \end{array}\right. \)

Habe es bisher geschafft, denke aber es ist falsch, kann mir da jemand helfen?

Comments

Hallo  die Matrix A muss eine 3. Spalte haben, in die Du die Werte \(t_i^2\) einträgt.

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Du könntest etwas Lesbares aus dem Latexmüll machen...

Answer 1

Aloha :)

zu a) Oha, da hat dir aber ein kleiner Kobold die Formatierung durcheinander gebracht. Wenn ich das richtig entziffere haben wir die Messwerte:$$-5=p(-2)=a_1-2a_2+4a_3$$$$-2=p(-1)=a_1-a_2+a_3$$$$\phantom{-}0=p(\phantom-0)=a_1$$$$\phantom{-}1=p(\phantom-1)=a_1+a_2+a_3$$$$\phantom{-}5=p(\phantom-2)=a_1+2a_2+4a_3$$Diese Situation führt zu folgendem überbestimmten Gleichungssystem:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 4\\1 & -1 & 1\\1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1\\1 & 2 & 4\end{array}\right)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{r}-5\\-2\\0\\1\\2\end{array}\right)$$

zu b) Wir multiplizieren die transponierte Koeffizientenmatrix von links an die Gleichung$$\left(\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-2 & -1 & 0 & 1 & 2\\4 & 1 & 0 & 1 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 4\\1 & -1 & 1\\1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1\\1 & 2 & 4\end{array}\right)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\-2 & -1 & 0 & 1 & 2\\4 & 1 & 0 & 1 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-5\\-2\\0\\1\\2\end{array}\right)$$und erhalten als Normalengleichung:$$\left(\begin{array}{rrr}5 & 0 & 10\\0 & 10 & 0\\10 & 0 & 34\end{array}\right)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{r}-1\\23\\-1\end{array}\right)$$Mit der Lösung:$$a_1=-\frac{24}{70}\quad;\quad a_2=\frac{161}{70}\quad;\quad a_3=\frac{5}{70}$$Daher lautet das Ausgleichspolynom:$$p(t)=\frac{-24+161\cdot t+5\cdot t^2}{70}$$

~plot~ {-2|-5} ; {-1|-2} ; {0|0} ; {1|1} ; {2|5} ; [[-3|3|-6|6]] ; (-24+161x+5x^2)/70 ~plot~