Wie zeigt man, dass b nur +1 oder -1 sein kann?

Question

Aufgabe:

Die lineare diophantische Gleichung \( a x+b y=c \) mit \( \operatorname{ggT}(a, b)=1 \) habe zwei ganzzahlige Lösungen \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) und \( \left(x_{1}, y_{1}\right) \) mit \( x_{1}=1+x_{0} \).

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man, dass b dann nur +1 oder -1 sein kann?

Answer 1

1. Fall: \(a=0\)

\(ggT(0,b)=1 \Rightarrow |b|=1\)

2. Fall: \(a\neq 0\)

Lösungen einsetzen:
$$ax_0 + by_0 = c \quad (1)$$$$ax_0 + a + b y_1 = c \quad (2)$$\((2)-(1)\Rightarrow a + b(y_1-y_0) = 0 \Rightarrow b | a \Rightarrow ggT(a,b) = |b| = 1\)

Fertig.

Answer 2

Hallo,

Löse die Gleichung nach y auf. Setze \(x_0\) und \(x_1=x_0+1\) ein und drücke \(y_1\) durch \(y_0\) aus.

Dann steht dort$$y_1=y_0-\frac ab$$