Aloha :)
zu i) \(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\)
Zähler und Nenner sind stets positiv, daher ist \(f(x)>0\). Weiter gilt:$$x^2\ge0\stackrel{(+1)}{\implies}1+x^2\ge1\stackrel{(\text{Kehrwerte})}{\implies}\frac{1}{1+x^2}\le1$$Daher ist \(f(x)\in(0;1]\) beschränkt (nach oben und unten).
zu ii) \(g(x)=\frac{x^4}{1+x^2}\)
Der Zähler ist \(\ge0\), der Nenner ist \(\ge1\). Daher ist \(g(x)\ge0\). Weiter gilt:$$\frac{x^4}{1+x^2}>\frac{x^4-1}{1+x^2}=\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{1+x^2}=x^2-1\to\infty$$Daher ist \(g(x)\in[0;\infty)\) nur nach unten beschränkt.
zu iii) \(h(x)=e^{-x^2}\)
Die Exponentialfunktion ist stets positiv, daher ist \(h(x)>0\).
Ferner folgt aus der Bernoulli-Ungleichung:$$e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n\ge\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+n\cdot\frac xn\right)=\lim\limits_{n\to\infty}(1+x)=1+x$$Daraus folgt nun:$$e^{x^2}\ge1+x^2\stackrel{(\text{Kehrwerte})}{\implies}\frac{1}{e^{x^2}}\le\frac{1}{1+x^2}\implies e^{-x^2}\le\frac{1}{1+x^2}\le1$$Daher ist \(h(x)\in(0;1]\) beschränkt (nach oben und unten).
zu iv) \(u(x)=\frac{1}{1+x^2}+e^{-x^2}\)
Auf Grund der vorigen Überlegungen ist klar, dass$$u(x)=\underbrace{\frac{1}{1+x^2}}_{\in(0;1]}+\underbrace{\frac{1}{e^{x^2}}}_{\in(0;1]}\in(0;2]$$Das Maximum ist \(u(0)=2\) und das Infimum ist \(0\), weil für \(x\to\pm\infty\) beide Summanden gegen \(0\) konvergieren.
Die Funktion \(u(x)\in(0;2]\) ist also beschränkt (nach oben und unten).
